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2021/8/11星期三
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理解函数的单调性及其几何意义;会运用函数图象理解和研究函数的性质;会求简单函数的值域,理解最大(小)值及几何意义.
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函数的单调性是函数的一个重要性质,几乎是每年必考的内容,例如判断和证明单调性、求单调区间、利用单调性比较大小、求值域、,2010年浙江卷第15题等.
请注意!
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(1)单调性定义:给定区间D上的函数y=f(x),若对于∀x1,x2∈D,当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),则f(x)为区间D上的增函数,否则为区间D上的减函数.
单调性与单调区间密不可分,单调区间是定义域的子区间.
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课本导读
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(2)证明单调性的步骤:证明函数的单调性一般从定义入手,也可以从导数入手.①利用定义证明单调性的一般步骤是a.∀x1,x2∈D,且x1<x2,(x1)-f(x2)并判断符号,.
②设y=f(x)在某区间内可导,如果f′(x)≥0,则f(x)为增函数,若f′(x)≤0,则f(x)为减函数.
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①若f(x),g(x)均为某区间上的增(减)函数,则f(x)+g(x)为某区间上的增(减)函数.
②若f(x)为增(减)函数,则-f(x)为减(增)函数.
③y=f[g(x)]是定义在M上的函数,若f(x)与g(x)的单调性相同,则y=f[g(x)](x)与g(x)的单调性相反,则y=f[g(x)]是减函数④奇函数在对称区间上的单调性相同,偶函数在对称区间上的单调性相反.
⑤若函数f(x)在闭区间[a,b]上是减函数,则f(x)的最大值为f(a),最小值为f(b),值域为[f(b),f(a)].
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设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足:①对于任意x∈I,都有f(x)≤M,②存在x0∈I,使得f(x0)=M,则称M是函数y=f(x)的最大值;类比定义y=f(x)的最小值.
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答案 (1)(-∞,-1),(-1,+∞) (2)(-1,1]
教材回归
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答案 D
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