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第41讲 空间向量及运算
2021/8/11星期三
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知识梳理
第41讲│知识梳理
两两垂直
(1)如图41-1,OABC-D1A1B1C1是单位正方体,以O为原点,分别以OA,OC,OD1的长为单位长度,建立三条____________的数轴:x轴,y轴,z轴,则称建立了空间直角坐标系Oxyz,其中点O叫做____________,x轴,y轴,z轴叫做________,通过每两个坐标轴的平面叫做___________.
坐标原点
坐标轴
坐标平面
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(2)空间一点M在空间直角坐标系中的坐标可以用有序实数组(x,y,z)表示,记作M(x,y,z),其中x叫做点M的________,y叫做点M的________,z叫做点M的________.
横坐标
纵坐标
竖坐标
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,数乘运算和数量积运算与平面向量的数乘运算和数量积运算相同;坐标运算与平面向量的坐标运算类似,仅多出了一个竖坐标.
(1)定义
已知两个非零向量a,b,在空间任取一点O,作=a,=b,则∠AOB叫做向量a,b的夹角,记作______.
已知两个非零向量a,b,则|a||b|cos〈a,b〉叫做a,b的________,记作a·=|a||b|cos〈a,b〉.
三角形法则或平行四边形法则
<a,b>
数量积
a·b
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p=xa+yb+zc
基底
基向量
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(2)空间向量的正交分解
如果i,j,k是空间三个两两垂直的向量,那么,对空间任一向量p,存在一个有序实数组{x,y,z},使得p=xi+yj+,yj,zk为向量p在i,j,k上的________.
(3)空间向量的坐标
设e1,e2,e3为有公共起点O的三个两两垂直的单位向量(我们称它们为单位正交基底),对于空间任一向量p,存在有序数组{x,y,z},使得p=xe1+ye2+,y,z称作向量p在单位正交基底e1,e2,e3下的坐标,.
分向量
p=(x,y,z)
(x,y,z)
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(1)空间向量运算的坐标表示
设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),
则a+b=(a1+b1,a2+b2,a3+b3),
a-b=(a1-b1,a2-b2,a3-b3),
λa=(λa1,λa2,λa3),
a·b=a1b1+a2b2+a3b3.
(2)重要结论
a∥b⇔a=λb⇔a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3(λ∈R,b≠0);
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要点探究
► 探究点1 空间向量的线性运算
第41讲│要点探究
图41-2
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第41讲│要点探究
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