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●基础知识
一、单调性定义
:给定区间D上的函数f(x),若对于 ∈D,当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),则f(x)∈D,当x1<x2时,都有f(x1)f(x2),则f(x)为区间D上的减函数.
说明:①单调性与单调区间密不可分,单调区间是定义域的子区间.
②单调性是函数在某一区间的“整体”,定义中的x1、x2具有任意性.
任意的x1、x2
任意的x1、x2
>
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:证明函数的单调性一般从定义入手,也可以从导数入手.
(1)利用定义证明函数单调性的一般步骤是:
①;
②;
③.
(2)设函数y=f(x)在某区间内可导.
如果f′(x)0,则f(x)为增函数;如果f′(x)0,则f(x)为减函数.
任取x1、x2∈D,且x1<x2
作差f(x1)-f(x2),并适当变形
依据差式的符号确定其增减性
>
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二、单调性的有关结论
(x),g(x)均为增(减)函数,则f(x)+g(x)
函数.
(x)为增(减)函数,则-f(x)为函数.
.
=f[g(x)]是定义在M上的函数,若f(x)与g(x)的单调性相同,则其复合函数f[g(x)]为;若f(x)与g(x)的单调性相反,则其复合函数f[g(x)]为.
;偶函数在其对称区间上的单调性.
仍为增
(减)
减(增)
相同
增函数
减函数
相同
相反
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三、函数单调性的应用有:
(1)利用函数的单调性可以比较函数值或自变量值的大小.
(2)求某些函数的值域或最值.
(3)解证不等式.
(4)作函数图象.
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●易错知识
一、不理解函数单调性概念而失误.
(x)=的单调减区间为________.
答案:(-∞,0)和(0,+∞)
(x)为偶函数,在(0,+∞)为减函数,若f()>0>f(),则方程f(x)=0的根的个数是________.
答案:2
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二、求函数的单调性时忽视函数定义域而失误.
=(x2-3x+2)的单调性为______________________.
答案:在(-∞,1)上为增函数,在(2,+∞)上为减函数
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三、函数与方程思想应用失误.
,b,c的大小关系为________.
答案:c<a<b
解题思路:方法一:
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方法二:构造函数f(x)=(x>0),y′=.
令y′=>0,lnx<1,∴x<e.
∴f(x)=在(e,+∞)上是减函数,在(0,e)上是增函数.
解法一:a==.
∵5>4>3>e,∴f(5)<f(4)<f(3).∴b<a<c.
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