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一、二次根式根本运算
二次根式的乘除法
1、积的算术平方根的性质:积的算术平方根,等于积中各因式的算术平方根的积。
=·〔a≥0,b≥0〕
2、二次根式的乘法法那么:两个因式的算术平方根的积,等于这两个因式积的算术平方根。
·=.〔a≥0,b≥0〕
3、商的算术平方根的性质:商的算术平方根等于被除式的算术平方铲除以除式的算术平方根。
=〔a≥0,b>0〕
4、二次根式的除法法那么:两个数的算术平方根的商,等于这两个数的商的算术平方根。
=〔a≥0,b>0〕
二次根式的加减法
需要先把二次根式化简,然后把被开方数相同的二次根式〔即同类二次根式〕的系数相加减,被开方数不变。类似于合并同类项。
化简步骤:
〔1〕“一分〞,即利用分解因数或分解因式的方法把被开方数〔或式〕的分子、分母都化成质因数〔或因式〕的幂的积的形式;
〔2〕“二移〞,即把能开得尽的因数〔或因式〕,用它的算术平方根代替,移到根号外,其中把根号内的分母中的因式移到根号外时,要注意写在分母的位置上;
〔3〕“三化〞,即化去被开方数中的分母。
二、二次根式的乘方
1、将单独根式中的整式〔数〕局部,根式局部分别乘方,如计算〔2〕2时,先将2乘方,再将乘方,结果再相乘;
2、多项式的乘方注意使用乘方公式,同时也可以将其因式分解。
总结:
1、乘、除法的运算法那么要灵巧运用,在实际运算中经常从等式的右边变形至等式的左边
,同时还要考虑被开方数的取值范围,最后把运算结果化成最简二次根式;
2、对于二次根式的加减,关键是合并同类二次根式,通常是先化成最简二次根式,再把同类二次根式合并。但在化简二次根式时,二次根式的被开方数应不含分母。
例题1a,b,c,d,e五个实数的平均值为k,各数与k的差如下表:
a
b
c
d
e
x
-
-
〔1〕除实数a外,与k的差的绝对值最大的实数是;
〔2〕求x的值。
解析:〔1〕直接求b、c、d、e与k的差的绝对值,比拟大小即可;〔2〕根据题意,a-k=x,b-k=-,c-k=-3,d-k=2,e-k=,又有a+b+c+d+e=5k,可求k的值。
答案:解:〔1〕∵|b-k|=|-|=,|c-k|=|-|=3,|d-k|==2,|e-k|==,
∴与k的差的绝对值最大的实数是c;
〔2〕依题意,得a-k=x,b-k=-,c-k=-3,d-k=2,e-k=,
五式相加,得a+b+c+d+e-5k=x-,又有a+b+c+d+e=5k,所以x-=0,即x=。
例题2设=a,=b,用含a,b的式子表示,那么以下表示正确的选项是〔 〕
A、0、3ab B、3ab C、0、1ab2 D、0、1a2b
解析:先把化为、的形式,再把a、b代入计算即可。
答案:解:∵==0、3•,=a,=b,∴
=0、3ab。应选A。
点拨:此题主要考查二次根式的化简,应化简到被开方数开不尽为止。
有条件的根式求值
利用条件进行二次根式的运算,关键是对所给条件进行适当的变形,条件的变形没有规律可循,要根据题目需要,运用所学知识适当变形。
例题x、y为正数,且〔+〕=3〔+5〕,求的值。
解析:要求代数式的值,首先将分子分母的字母统一成一种,因此要整理条件,设法将其中一种字母用另一种表示,然后代入代数式中,约分即可。
答案:由条件得x-2-15y=0。∴〔+3〕〔-5〕=0,
∵+3>0,∴-5=0,
∴=5,x=25y,
∴===2。
赋予新定义
解决赋予一个新的运算定义的一类题,关键是理解新定义运算的含义,继而进行综合运算。
例题假设a+b=2,那么称a与b是关于1的平衡数。
〔1〕3与是关于1的平衡数,5-与
是关于1的平衡数;
〔2〕假设〔m+〕×〔1-〕=-5+3,判断m+与5-是否是关于1的平衡数,并说明理由。
解析:〔1〕根据所给的例子,可得出平衡数的求法,由此可得出答案;〔2〕根据所给的等式,解出m的值,进而再代入判断即可。
答案:〔1〕由题意得,3+〔-1〕=2,5-+〔-3+〕=2,
∴3与-1是关于1的平衡数,5-与-3+是关于1的平衡数。
〔2〕不是。理由如下:∵〔m+〕×〔1-〕=m-m+-3,
又∵〔m+〕×〔1-〕=-5+3,∴m-m+-3=-5+3,
∴m-m=-2+2。
即m〔1-〕=-2〔1-〕,
∴m=-2。
∴〔m+〕+〔5-〕
=〔-2+〕+〔5-〕
=3
∴〔m+〕与〔5-〕不是关于1的平衡数。
〔答题时间:45分钟〕
一、选择题
1、化简a的结果是〔 〕
A、 B、 C、− D、
2、以下运算错误的选项是〔 〕
A、-=π B、〔−〕2=0、2
C、=10-1=0、1 D、〔3〕2=32×〔〕2=18
*3、估算的值〔 〕
A、在0与1之间 B、在0与2之间
C、在2与3之间 D、在3与4之间
**4、y1=x,y2=,y3=,y4=…,y2023=,那么y1•y2023等于〔 〕
A、2x2 B、1 C、2 D、
**5、假设,那么k=〔 〕
A、3- B、3++
C、3- D、3+-
二、填空题
*6、假设a-b=2+,b-c=2-,那么代数式a2-2ac+c2的值为。
*7、的整数局部为a,小数局部为b,那么+ 
=。
**8、非零实数x、y满足〔-x〕〔-y〕=2023,那么=。
**9、假设[x]表示不超过x的最大整数〔如[3]=3,[-π]=-4等〕,根据定义计算下面算式:[]+[]+…+[]=。
三、解答题
*10、给出三个整式a2,b2和2ab。
〔1〕当a=-1,b=+1时,求a2+b2+2ab的值;
〔2〕在上面的三个整式中任意选择两个整式进行加法或减法运算,使所得的多项式能够因式分解。请写出你所选的式子及因式分解的过程。
**11、:y=++,求代数式−的值。
**12、解阅读此题的解答过程,答复以下问题:
化简:〔0<a<2b〕。
解:原式==〔1〕
=〔2〕
=〔3〕
=〔4〕
=
〔1〕上述解题过程中,从哪一步开始出现错误,请填写出该步的代号;
〔2〕请写出错误的原因:;
〔3〕写出此题的正确解答过程。
1、C解析:由a可知,a<0,原式=-=-,应选C。
2、A解析:A、-=-π,本选项错误;B、〔−〕2=0、2,本选项正确;C、=10-1=0、1=10-1=0、1,本选项正确;D、〔3〕2=32×〔〕2=18,本选项正确,应选A。
3、C解析:==5-,∵2<<3,∴-2>->-3,∴5-2>5->5-3,即2<5-<3,∴2<<3,应选C。
4、C解析:∵y1=x,∴y2===;∴y3===x;y4==;∴y2023=,∴y1·y2023=x·=2。应选C。
5、D解析:原式可化为,即
=3+,∴k=3+-3,
即k=3+-。应选D。
6、16解析:由两式相加,得:a-c=4,∴a2-2ac+c2=〔a-c〕2=42=16。
7、解析:由=−2,又3<<4,∴0<−3<1,∵的整数局部为a,小数局部为b,那么a=1,b=−3,
从而+===。故答案为:。
8、-1解析:根据题意可知,当x+y=0,即x=-y时,〔-x〕〔-y〕=2023恒成立,
那么===-1。故答案为:-1。
9、2023解析:==,而1<1+<2。
所以[]=1,设第n+1个式子是:
===1+,那么[]=[1+]=1,故可求得每个式子均为1,所以所求式子的和为2023。
10、解:〔1〕当时,;
〔2〕假设选,那么
11、解:根据二次根式有意义,得1−8x≥0,8x−1≥0,解得x=,∴y=,−=−=-=-=1。
12、解:〔1〕〔4〕〔2〕∵0<a<2b,∴2b-a>0,∴a-2b<0,∴|a-2b|=2b-a,负数的绝对值等于它的相反数,不等于它本身
〔3〕解:原式===
===-