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LMS自适应滤波算法
1960年Widrow和Hoff提出最小均方误差算法(LMS),LMS算法是随机梯度算法中的一
员。使用“随机梯度”一词是为了将LMS算法与最速下降法区别开来。该算法在随机输入维
纳滤波器递归计算中使用确定性梯度。LMS算法的一个显著特点是它的简单性。此外,它不
需要计算有关的相关函数,也不需要矩阵求逆运算。
由于其具有的简单性、鲁棒性和易于实现的性能,在很多领域得到了广泛的应用。
1LMS算法简介
LMS算法是线性自适应滤波算法,一般来说包含两个基本过程:
(1)滤波过程:计算线性滤波器输出对输入信号的响应,通过比较输出与期望响应产生
估计误差。
(2)自适应过程:根据估计误差自动调整滤波器参数。
如图1-1所示,用表示n时刻输入信号矢量,
用表示n时刻N阶自适应滤波器的权重系数,
表示期望信号,表示误差信号,是主端输入干扰信号,u是步长因子。则基本
的LMS算法可以表示为
(1)
(2)
图1-1自适应滤波原理框图
由上式可以看出LMS算法实现起来确实很简单,一步估计误差(1),和一步跟新权向量
(2)。
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2迭代步长u的作用
尽管LMS算法实现起来较为简单,但是精确分析LMS的收敛过程和性能却是非常困难的。
最早做LMS收敛性能分析的是Widrow等人,他们从精确的梯度下降法出发,研究权矢量误
差的均值收敛特性。最终得到代价函数的收敛公式:
′(3)
式(3)揭示出LMS算法代价函数的收敛过程表现为一簇指数衰减曲线之和的形式,每
条指数曲线对应于旋转后的权误差矢量的每个分量,而他们的衰减速度,对应于输入自相关
矩阵的每个特征值,第i条指数曲线的时间常数表示为
τ
小特征值对应大时间常数,即衰减速度慢的曲线。而大特征值对应收敛速度快的曲线,但是
如果特征值过大以至于则导致算法发散。
从上式可以明显看出迭代步长u在LMS算法中会影响算法收敛的速度,增大u可以加快算法
的收敛速度,但是要保证算法收敛。
最大步长边界:
稳态误差时衡量LMS算法的另一个重要指标,稳定的LMS算法在n时刻所产生的均方误差,
其最终值∞是一个常数。用来表示维纳解对应的均方误差,则稳态误差可以定义为:
∞
Widrow给出的失调误差:
可见LMS算法的失调误差恒不为零。也可以看出u越大失调误差会越大。收敛速度和稳
态误差不可兼得,由步长u控制两者的折衷。
白噪声经过AR模型的输作为LMS算法的输入,AR模型参数:a1=;a2=-
算法迭代次数2048
(1)给出了固定步长u=。
(2)u==
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2
单次运算
200次运算平均
1
值
头
抽
0
-
-1
05001000150020002500
图2-1单次运算与200次运算
200次独立仿真集平均后权重系数随n变化的曲线比较平滑。最终权重系数收敛结果
-。
迭代步长对收敛速度和稳态误差的影响:
LMS学习曲线
10
u=
9u=
8
7
6
差
误5
方
平
4
3
2
1
0
05001000150020002500
图2-2不同迭代步长下LMS学习曲线
从图2-2很容易看出u==,但是稳态误差也比较大。
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3一种变步长LMS算法
由迭代步长u对LMS算法的影响可知,减小步长因子u可减少自适应滤波算法的稳
态噪声,提高算法的收敛精度。同时也会降低算法的收敛速度和跟踪速度。
为了同时获得较好地收敛速度和稳态误差,变步长算法被提出,在算法运行过程中
动态地调整步长因子u,调整的原则是在初始收敛阶段或者系统参数发生变化时,步
长应该比较大,以便有较快的收敛速度和对时变系统的跟踪速度;而在算法收敛后,
不管主输入端干扰信号有多大,都应该保持很小的调整步长以达到很小的稳态失
调噪声。
根据这一调整原则,很多变步长算法被提出。其中一种是Sigmoid函数的简化版,
步长u和e(n)关系如下:
βα
其中参数α控制函数的形状,参数β控制函数的取值范围。和的函
数曲线如图3-1和图3-2
图3-1参数对α曲线的影响
图3-2参数β对曲线的影响
参数,βα选择原则,使初始误差对应的步长u值较大(在使算法收敛的范
围内),如果需要较高的收敛速度,可选取较大的α值。
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仿真实验条件:未知系统FIR系数,;参考输入信号x(n)是零均值,
方差为1的高斯白噪声;v(n)是与x(n)不相关的高斯白噪声,均值是零,;
200次独立仿真,采样点数为1000。
参数α,β和不同迭代步长下固定步长的LMS曲线做了对比,仿真结果
如
下图3-3,图3-4,图3-5
LMS学习曲线
100
固定步长u=
变步长
差
误10-1
方
均
10-2
01002003004005006007008009001000
迭代次数
图3-3u=
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LMS学习曲线
100
固定步长u=
变步长
差
误10-1
方
均
10-2
01002003004005006007008009001000
迭代次数
图3-4u=
LMS学习曲线
100
固定步长u=
变步长
差
误10-1
方
均
10-2
01002003004005006007008009001000
迭代次数
图3-5u=
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观察图3-3、图3-4和图3-5,看到变步长LMS算法收敛速度优于固定步长收敛速度。
参考文献
【1】【博士毕业论文】
【2】(中文第四版)
【3】高鹰,
【4】
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