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数学(理)(全国I卷):
几何
(三)立体几何初步
(半径为r)组
成一个几何体,该几何体三视图中的正视图和俯视图如
+20π,则r=()
,则它的表面积是()
3
,其中正视图和左视图
都由正方形和等腰直角三角形组成,正方形的边长为2,
是梯形,这些梯形的面积之和为()
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【解析】
(十六)空间向量与立体几何
平面过正方体的顶点,平面
ABCD-A1B1C1D1A//
,平面,平面,则、
CB1D1ABCD=mABB1A1=nmn
所成角的正弦值为()
2233
,四边形ABCD为菱形,∠ABC=120°,E,F
是平面ABCD同一侧的两点,BE⊥平面ABCD,DF⊥
平面ABCD,BE=2DF,AE⊥EC.
(Ⅰ)证明:平面AEC⊥平面AFC.
(Ⅱ)求直线AE与直线CF所成角的余弦值.
,在以A,B,C,D,E,F为顶点的五面体
中,面为正方形,,,且二面角
ABEFAF=2FDAFD90
D-AF-E与二面角C-BE-F都是60.
()证明:平面平面;
IABEFEFDC
(II)求二面角E-BC-A的余弦值.
,在四棱锥P-ABCD中,AB//CD,且
BAPCDP90.
(1)证明:平面PAB⊥平面PAD;
()若,,求二面角的
2PA=PD=AB=DCAPD90A-PB-C
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余弦值.
2.(1)略(2)3
3
()见解析()219
19
以为坐标原点,的方向为轴正方向,为单位长,
FFAx|AB|
建立如图所示的空间直角坐标系
Fxyz.
由()及已知可得2,2,2,2
1A(,0,0)P(0,0,)B(,1,0)C(,1,0).
2222
所以22,,22,
PC(,1,)CB(2,0,0)PA(,0,)AB(0,1,0).
2222
设是平面的法向量,则
m(x,y,z)PAB
22
mPA0,即xz0,
22
mAB0
y0
可取
n(1,0,1).
则nm3,
cos<n,m>
|n||m|3
所以二面角的余弦值为3
APBC.
3
考纲原文
(三)立体几何初步
(1)认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征,并
能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.
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(2)能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱
等的简易组合)的三视图,能识别上述三视图所表示的立
体模型,会用斜二侧法画出它们的直观图.
(3)会用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间图形
的三视图与直观图,了解空间图形的不同表示形式.
(4)会画某些建筑物的视图与直观图(在不影响图形特征
的基础上,尺寸、线条等不作严格要求).
(5)了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式.
、直线、平面之间的位置关系
(1)理解空间直线、平面位置关系的定义,并了解如下可
以作为推理依据的公理和定理.
•公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这
条直线上所有的点都在此平面内.
公理2:过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平
面.
•公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它
们有且只有一条过该点的公共直线.
•公理4:平行于同一条直线的两条直线互相平行.
•定理:空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分
别平行,那么这两个角相等或互补.
(2)以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点,认识
和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定定理.
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理解以下判定定理.
•如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,那
么该直线与此平面平行.
•如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平
行,那么这两个平面平行.
•如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,
那么该直线与此平面垂直.
•如果一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平
面互相垂直.
理解以下性质定理,并能够证明.
•如果一条直线与一个平面平行,那么经过该直线的任
一个平面与此平面的交线和该直线平行.
•如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们
的交线相互平行.
•垂直于同一个平面的两条直线平行.
•如果两个平面垂直,那么一个平面内垂直于它们交线
的直线与另一个平面垂直.
、定理和已获得的结论证明一些空间图形的
位置关系的简单命题.
(十六)空间向量与立体几何
(1)了解空间向量的概念,了解空间向量的基本定理及其
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意义,掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.
(2)掌握空间向量的线性运算及其坐标表示.
(3)掌握空间向量的数量积及其坐标表示,能运用向量的
数量积判断向量的共线与垂直.
(1)理解直线的方向向量与平面的法向量.
(2)能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与
平面的垂直、平行关系.
(3)能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定
理(包括三垂线定理).
(4)能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与
平面的夹角的计算问题,了解向量方法在研究立体几何
问题中的应用.
与2019年考纲相比没什么变化,而且这部分内容作为高
考的必考内容,在2019年的高考中预计仍会以“一小一
大或两小一大”的格局呈现,在选择题或填空题中,考查
空间几何体三视图的识别,空间几何体的体积或表面积
的计算,空间线面位置关系的判定等,难度中等;在解
答题中主要考查空间线面位置关系中的平行或垂直的证
明,空间几何体表面积或体积的计算,空间角或空间距
离的计算等,难度中等.
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