文档介绍：对称性在微积分计算中应用的研究
1 对称性在微分学中的应用
若中任意两个变元对换而函数不变,:
若是极限存在的对称函数,则,或者有.
对称性在导数计算中的应用
(1) 若是偏导数存在的对称函数,则;
而当时,有
设函数由方程确定,其中是可微函数,与是常数,求.
解,两端对求导得,
即,从而(1)
根据的对称性,得(2)
由(1)(2)两式得
正是由于考虑到的对称性,从而通过得到的值,避免了重复计算.
,求.
解把看成常数对求偏导,,改写为.
由地位一样,利用轮换,把换成,换成,有
(2) 若是一个三元轮换对称函数,则它对任一变元所得的阶偏导数的结果都可以经轮换直接转换为其他变元的阶偏导数.
设,求.
解由,
,
由对称性得, ,
于是
对称性在微分计算中的应用
微分的计算可以归结为导数的计算,但要注意它们之间的不同之处,即函数的微分等于函数的导数与自变量微分的乘积.
已知,证明.
证明,由于在函数中,与对称,与对称,故
.
对称性在积分学中的应用
对称性在积分计算中的应用
(1)在对称区间上连续函数的定积分具有对称性:

利用这一结论,可简化定积分的计算,尤其当为奇函数时,则可避免复繁杂的计算,提高计算效率.
计算
分析显然积分区间关于原点对称,但既不是奇函数也不是偶函数,我们可利用
.其中为偶函数,为奇函数,把它分解为一个偶函数和一个奇函数之和.
解令,则
,,
所以有.
在连续函数图形关于原点或直线对称时有推广到如下性质:
(1) 若的图形关于直线对称,即,则
若的图形关于对称,即,则,
同样,若满足,则
若函数与的图形关于直线对称,即,,即,则
求(为正整数)
解设,因为,由性质(3)有
求
解因为为被积函数的无穷间断点,此题积分为广义积分,由性质(4)得
因为,则由对称性得
,令,有,
即
以上几例利用了拓展对称性,.
对称性在重积分计算中的应用
二重积分中的对称性
通常,二重积分具有如下对称性性质:
如果积分区域关于轴对称,为的奇偶函数,则二重积分

为在上半平面部分.
如果积分区域关于轴对称,为的奇偶函数,则二重积分

为在右半平面部分.
如果积分区域关于原点对称,为的奇偶函数,则二重积分

为在上半平面部分.
如果积分区域关于直线对称,则二重积分
.

对偶性两者兼得时才能用此性质.
计算,其中由围成.
解做曲线,则积分区域被分为和,关于轴对称,关于轴对称,由于被积函数是的奇函数,故有,由于是奇函数,故有.
被积函数含有抽象函数时,,当具有轮换对称性(互
换,保持不变)时,往往用如下方法:
①
②关于直线对称,记位于直线上半部分区域为,
当时
当时
设,为上的正值连续函数,为常数,计算.
解由轮换对称性得,因此有
.
求(1);(2) ,其中:由在第一象限内所围成的图形.
解积分区域关于具有轮换对称性,即积分区域关于直线对称,记位于直线的上半部分为.
(1) 因为被积函数满足,所以
.
(2) 因为被积函数,所以.
三重积分中的对称性
三重积分也有类似于二重积分的对称性:
如若为区域上的连续函数,有界闭区域关于坐标面对称,为位于坐标面上侧的部分,则必有
.
计算三重积分,其中为.
解,因为关于面对陈且是相应于的奇函数,于是,又因为积分区域关于平面对称,于是与有相同的积分域和被积函数,
所以,从而有
.
计算,其中.
解积分区域关于面对称,被积函数是的奇函数,则有
(2) 若积分区域关于具有轮换对称性, 计算,其中.
解因为积分区域关于具有轮换对称性,所以
.
对称性在曲线积分计算中的应用
第一类曲线积分
(1)若分段光滑曲线关于轴对称,在上为连续函数,为位于轴右侧的弧段,则
(2)若分段光滑曲线关于轴对称,在上为连续函数,为位于轴上侧的弧段,则
(3)若关于直线对称,记位于直线上半部分区域为,则
计算,其中C是抛物线上从到的一段弧.
解因为C关于轴对称,被积函数是的奇函数,所以.
(4)通常我们也可以利用轮