文档介绍：第五章数值积分
(2)具有m次代数精度,试证明对于任意次数不超过m的代数多项式,都有。
证明:因为对,都有,从而由的线性性质以及任意有:。结论成立。
。
证明:(1)由,令,则
故
(2)由于牛顿-柯特斯公式的代数精度,故对零次多项式,有,即,也就是,即,由得。
:
证明:由于牛顿-柯特斯公式的代数精度,故在区间上使用牛顿-柯特斯公式对精确成立,即:,也就是:
或,写成矩阵形式即为:
,若不是整数,且,则;若不是整数,且,则。
证明:因为,所以:
若不是整数,且时,有成立,所以:,于是。再由:
和得:。
同理当时,,两边再减有:,即,所以若不是整数,且时,。证毕
,。证明:存在成立
证明:因在上连续,故在上必取得最大值和最小值,即当时。又若令,则由得:。故由连续函数的介值定理知:必存在,使,即。
,则积分区间要多少等分才能保证计算结果有五位有效数字?
解:欲使,其中,
只须,即积分区间要68等分才能保证计算结果有五位有效数字。
,利用复化梯形公式按如下的尺度,计算:
(1) (2) (3)
解:(1)时,
=
(2) 时, =
(3)时,
。
解:将区间n等分,其节点,在每个小区间上采用辛卜生公式得:,以及: ,于是:
即:。证毕。
:
(1),
解:(1)令,则:
(2),;
(3),;
(4),。
,证明复化梯形公式和复化辛卜生公式当时,收敛于积分值。
证明:将区间n等分,其节点,在每个小区间上采用梯形公式并由在上可积得:
;在每个小区间上采用辛卜生公式得:
11。  :,并用理查森外推法计算的近似值。
证明:由于当时,
,令得:
,即:
若令,并记,则上式成为:
,因此该公式符合理查森外推法的条件,若记由外推算法:,,并取(即)得:

与相比,有8位有效数字。
。

解:

积分的精确值为=。
,求证
,
证明:因在上有二阶连续导数,则:
,
两边积分得:,因在上连续,故存在,使,即:
。证毕
,试决定求积系数,使之代数精确度尽可能高。
解:若求积公式对精确成立,则必满足方程组:
,解之得:,由于当时,求积公式仍精确成立,但当时,求积公式不再精确成立,故该求积公式具有3次代数精度。
:
解:由于求积公式是高斯型的,故对单项式精确成立,于是得到如下的关于的方程组:
,
令,并由、分别得:解之得:,因此是一元二次方程:的解:,,再由(1)、(2)解得:,即:
(52)式推导当时的三角辛卜生公式。
解:令:,,由
其中:
可得当时的三角辛卜生公式:
,并选择合适的方法计算其近似值:
(1)
解:因为:,可以利用高斯-第二类契比雪夫求积公式,于是取得:
所以:
(2)
解:这是振荡积分,利用三角梯形公式(53)得:
(3)
解:由于:,可以利用高斯-第一类契比雪夫求积公式:
,于是取得(其中):
,所以。
(4)