人教B版高中数学选修2-2创新设计练习2.3.1数学归纳法(含答案详析).docx

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人教B版高中数学选修2-(含答案详析)
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双基达标限时20分钟
“2n>n2+1对于n≥n0的自然数n都建立”时,第一步证
明中的开端值n0应取
(
).

分析
当n取1、2、3、4时2n
2+
1
不建立,当
n
=
时,
5=
2+=
>n
5
2
32>5
1
26,第一个能使2n>n2+1的n值为5,应选C.
答案
C
.用数学概括法证明等式
1+2+3++(n+3)=
n+3
n+4
+),考证n
2
2
(n∈N
=1时,左侧应取的项是
().

+2
+2+3
+2+3+4
分析
等式左侧的数是从
1加到n+3.
当n=1时,n+3=4,故此时左侧的数为从1加到4.
答案
D
1
1
1
(n∈N+),那么f(n+1)-f(n)等于
(n)=1+2+3++
-
3n
1
().
A.
1
1
1
+
2
+
+
1
3n
3n
1
+
1
1
+
1
+
1
+1
3n+2

3n+1
3n+2
分析
1
1
1
,
∵f(n)=1++++
2
3
3n-1
∵f(n+1)=1+1+1++
1
+
1
+
1
+
1
,
2
3
3n-1
3n
3n+1
3n+2
∴f(n+1)-f(n)=
1+
1
+
1
.
3n
3n+13n+2
答案
D
,当n=k时,表达式为
1×4+2×7+
k(3k+1)=k(k+1)2,则当n=k+1时,表达式为________.
答案1×4+2×7++k(3k+1)+(k+1)(3k+4)=(k+1)(k+2)2
(k),则凸k+1边形的内角和f(k+1)=f(k)+________.
分析由凸k边形变成凸k+1边形时,增添了一个三角形图形,故f(k+1)
f(k)+π.
答案
π
:
1
1
1
1
1
1
1×2+3×4++2n-1·2n=n+1+n+2++n+n.
证明
(1)当n=1时,左侧=
1=1,右侧=
1,等式建立.
1×2
2
2
(2)假定当n=k(k∈N*)时,等式建立,即
1
1
1
1
1
1
×+
×++
-
1
=
+
++
2k.
1234
2k
·2kk+
1k+
2
则当n=k+1时,
1+
1++
1
+
1
1×2
3×4
2k-1·2k2k+12k+2
=1
+1
++
1+
+
1
+
k+1
k+2
2k
2
2k12k
=1
+1
1+
1
1
++
2k+1-
2k+2+1
k+2
k+3
2k
+
1
k
=1
+1
++
1+
1
+
1
k+2
k+3
2k
2k+1
2k+2
人教B版高中数学选修2-(含答案详析)
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1
1
1
1
=k+1
+1+k+1
+2++k+1
+k+k+1+k+=k+1时,
等式建立.
依据(1)(2)可知,对全部n∈N*,等式建立.
综合提升限时25分钟
(n)(n∈N*)在n=k(k∈N*)时命题建立,则有n=k+=n0(n0∈N*)时命题建立,则有
().
.命题对全部正整数都建立
,对大于或等于n0的正整数都建立
,对大于或等于n0的正整数都
建立

分析
由已知得n=n
∈*
)
时命题建立,则有
n
=
+
1
时命题建立;在
n
0(n0N
n0
=n0+1时命题建立的前提下,又可推得
n=(n0+1)+1时命题也建立,依此
类推,可知选C.
答案C
(n+1)(n+2)(n+3)(n+n)=2n·1·3··(2n-1)(n∈N*),从n=k到n=k+1,左侧增添的代数式为
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(

).
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+1

(2k+1)
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2k+1

2k+3
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+1

D.

k+1
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分析n=k时,左侧=(k+1)(k+2)(2k);n=k+1时,左侧=(k+2)(k+
3)(2k+2)=2(k+1)(k+2)(2k)(2k+1),应选B.
答案B
+4++2n=n2+n+1(n∈N+)的过程中的错误:
证明假定当n=k(k∈N+)时等式建立,即2+4++2k=k2+k+1,那么2
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4++2k+2(k+1)=k2+k+1+2(k+1)=(k+1)2+(k+1)+1,即当n=k
∈N+.
答案
缺乏步骤概括奠定,实质受骗
n=1时等式不建立
.用数学概括法证明
n-1
2+n)时,从n=k到n
10
(1+1)(2+2)(3+3)(n+n)=2
·(n
=k+1左侧需要增添的因式是________.
分析
当n=k时,左端为:(1+1)(2+2)(k+k),
当n=k+1时,
左端为:(1+1)(2+2)(k+k)(k+1+k+1),
由k到k+1需增添的因式为:(2k+2).
答案2k+2

12+22++n2=nn+12n+1(n∈N*).
6
证明(1)当n=1时,左侧=12=1,
右侧=1×1+1×2×1+1=1,
6
等式建立.
(2)假定当n=k(k∈N*)时等式建立,即
12+22++k2=kk+12k+1
6
那么,
12+22++k2+(k+1)2
=kk+12k+1+(k+1)2
6
2
=kk+12k+1+6k+1
2
=k+12k+7k+6
k+1k+22k+3
=
6
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=
k+1[k+1+1][2
k+1+1]
6
,
即当n=k+1时等式也建立.
依据(1)和(2),可知等式对任何n∈N*都建立.
.创新拓展
已知正数数列
n∈
*
中,前
项和为
1
12(
)
{a}(n
N)
n
S
a
数学概括法证明:an=n-n-1.
证明
(1)当n=1时.
1=S1=1a1+1,
a
2
a1
a21=1(an>0),
a1=1,又1-0=1,
n=1时,结论建立.
(2)假定n=k(k∈N*)时,结论建立,
即ak=k-k-1.
当n=k+1时,
ak+1=Sk+1-Sk
=
1ak+1+
1
-1
ak+
1
2
ak+1
2
ak
1ak+1+
1
1
k-
1
=
k-1+
2
ak+1
-2
k-k-1
=
1
1
-k
2a
ak+1
k+1+
a2k+1+2kak+1-1=0,解得ak+1=k+1-k(an>0),
n=k+1时,结论建立.
由(1)(2)可知,对n∈N*都有an=n-n-1.
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