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绝密★启用前
清北学长精心打造——卓越联盟自主招生数学模拟试题(三)
考试范围:xxx;考试时间:100分钟;命题人:xxx
学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________
题号
一
二
三
总分
得分
注意事项:
、班级、
第I卷(选择题)
请将答案写在答题纸上
评卷人
得分
一、选择题(5*6=30分)
,,,则的值等于 ()
C.
,并满足
,则的值为 ()
1
x
y
O
二次函数的图象的一部分如图,则a的取
值范围是()
A. B.
C. D.
、y的方程的正整数解(x,y)的个数为 ()
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第II卷(非选择题)
请将答案写在答题纸上
评卷人
得分
二、填空题(6*6=36分)
:,值域为,则区间长度的最大值与最小值的差等于________.
,定义As=As-3,s≥4,构造点列p0,p1,p2,…,使得pk+1为绕中心Ak+1顺时针旋转1200时pk所到达的位置,k=0,1,2,…,若p1986=。
,在三角形ABC中,A=90°,则k=,若B=90°,则k=;若C=90°,则k=.
(不加任何运算符号)可以组成形如的四个数,那么用4个2可以组成类似形式的数个,其中最大的是;
评卷人
得分
三、解答题(共54分,12,14,14,14分)
9.(本题满分12分)
如图,曲线是以原点O为中心、为焦点的椭圆的一部分,曲线是以O为顶点、为焦点的抛物线的一部分,A是曲线和的交点且为钝角,若,.
(Ⅰ)求曲线和的方程;
(Ⅱ)过作一条与轴不垂直的直线,分别与曲线依次交于B、C、D、E四点,若G为CD中点、H为BE中点,问是否为定值?若是求出定值;若不是说明理由.
,,所有这些三角形的面积之和不小于
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P的面积的两倍.
(n>1)整系数多项式,
,,最多存在n个整数t,使得.
,使得对一切实数a,b,c都成立不等式
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试卷答案
解析:由已知,设
所以,,,所以,选D
解析:由图象可知a<0且过点(0,1)和(1,0),由二次函数的对称性知,当x=-1时y>0,于是高,(0,1)代入得;将代入得,即,所以
.
解析:由得,整理得
,从而,原方程的正整数解有(组)
令u=,由题设,约定用点同时表示它们对应的复数,取给定平面为复平面,则p1=(1+u)A1-up0,
p2=(1+u)A2-up1,
p3=(1+u)A3-up2,
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①×u2+②×(-u)得p3=(1+u)(A3-uA2+u2A1)+p0=w+p0,w为与p0无关的常数。同理得p6=w+p3=2w+p0,…,p1986=662w+p0=p0,所以w=0,从而A3-uA2+u2A1==u-1得A3-A1=(A2-A1)u,这说明ΔA1A2A3为正三角形。
7.
8、8;
9.(Ⅰ)解法一:设椭圆方程为,则,
得.
设,则,,
两式相减得,由抛物线定义可知,则或(舍去)
所以椭圆方程为,抛物线方程为.
解法二:过作垂直于轴的直线,即抛物线的准线,作垂直于该准线,
作轴于,则由抛物线的定义得,
所以
,
得,所以c=1,︱OM︱=
(,得),
因而椭圆方程为,抛物线方程为.
(Ⅱ)设把直线
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:过P的每个顶点有唯一的直线平分P的面积,将该直线与P的边界的另一交点也看作P的顶点(允许若干个相继顶点共线).
看成一个2n边形,每条对角线是P的面积平分线(i=1,2,…,n,).设与交于(),由面积关系得到,
,,故和
中必有一个不小于1,于是以为一边在P内作的面积最大的三角形的面积
.
对于每条有向线段,,故必有i使得T在和的相反侧,
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P中同一边上的各个之和就是该边上的面积最大的内接三角形面积.
:若Q的每个整数不动点都是P的不动点,结论显然成立.
设有整数使得,.,.
-周期点.
设a是P的另一个2-周期点,(允许b=a).则与互相整除,故,,若二者同取正号,推出,矛盾.
,我们得到:,.
:
.
设,则.
原不等式成为
.
,.于是由算术-几何平均不等式
=
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即时原不等式成立.
等号在,,即时达到,故所求的最小的.