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清北学长精心打造——
卓越联盟自主招生数学模拟试题及参考答案(五)
{an}满足3a8=5a13且a1>0,Sn为其前项之和,则Sn中最大的是()
(A)S10(B)S11(C)S20(D)S21
19951995
,Z2,…,Z20,则复数Z1,Z2,…,
1995
Z20所对应的不同的点的个数是()
(A)4(B)5(C)10(D)20
,则称甲不亚于乙,在100个小伙子中,如果某人不亚于其他
99人,就称他为棒小伙子,那么,100个小伙子中的棒小伙子最多可能有()
(A)1个(B)2个(C)50个(D)100个
|x-2n|=kx(n∈N*)在区间(2n-1,2n+1]上有两个不相等的实根,则k的取值范围是()
1
(A)k>0(B)0<k≤
2n+1
11
(C)<k≤(D)以上都不是
2n+12n+1
,logsin1tan1,logcos1sin1,logcos1tan1的大小关系是
(A)logsin1cos1<logcos1sin1<logsin1tan1<logcos1tan1
(B)logcos1sin1<logcos1tan1<logsin1cos1<logsin1tan1
(C)logsin1tan1<logcos1tan1<logcos1sin1<logsin1cos1
(D)logcos1tan1<logsin1tan1<logsin1cos1<logcos1sin1
—ABC底面三角形ABC的中心,过O的动平面与PC交于S,与PA,PB的延长线
111
分别交于Q,R,则和式++
PQPRPS
(A)有最大值而无最小值(B有最小值而无最大值
(C)既有最大值又有最小值,两者不等(D)是一个与面QPS无关的常数
α
,β为一对共轭复数,若|α-β|=23,且为实数,则|α|=.
β2
.
[x]表示不大于实数x的最大整数,方程lg2x-[lgx]-2=0的实根个数是.
y≤3x,
x
,满足不等式组y≥,的整点个数是.
3
{x+y≤100)
,并使同一条棱的两端点异色,如果只有5种颜色可使用,那
么不同的染色方法的总数是.
={1,2,3,…,1995},A是M的子集且满足条件:当x∈A时,15xA,则A中元素的个数最
多是.
(2sinθ-cosθ+3)x2-(8sinθ+cosθ+1)y=0,θ为参数,求该曲线在直线y=2x上所截得的弦长的
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A
最大值.
EH
,使得三次方程5x3-5(p+1)x2+(71p-1)x+1=
,菱形ABCD的内切圆O与各边分别切于E,F,G,H,在弧EF与GH上分别作圆O的
BD
切线交AB于M,交BC于N,交CD于P,交DA于Q,求证:MQ∥NP.
N
,蓝两色之一着色。证明:存在这样两个相似的三角形,它们的相似比P
FG
为1995,并且每一个三角形的三个顶点同色.
C
答案
一
222
:3(a+7d)=5(a+12d),d=-a,令a=a-a(n-1)≥0,a=a-an<0,得n=.
39n39n+139
ππ
:设z=cosθ+isinθ,则z=zεk-1,其中ε=cos+==-i,ε10=-1,ε5=i.
1k11010
19951995(k-1)k-1
∴zk=(cos1995θ+isin1995θ)ε=(cos1995θ+isin1995θ)(-i).
∴.
:把身高按从高到矮排为1~100号,而规定二人比较,身高较高者体重较小,
选D.
:由|x-2n|≥0,故k≥0,若k=0,>0.
1
由图象可得,x=2n+1时,kx≤≤.故选B.
2n+1
又解:y=(x-2n)2与线段y=k2x(2n-1<x≤2n+1)-(4n+k2)x+4n2=0有(2n-1,2n+1]上
△=(4n+k2)2-16n2>(2n-1)2-(4n+k2)(2n-1)+4n2>0,(2n+1)2-(4n+k2)(2n+1)+4n2≥0,2n
11
-1<2n+k2<2n+1.k≤.
22n+1
:<1<,故0<cos1<sin1<1<tan1.logtan1<0,logtan1<0,
42sin1cos1
logsin1cos1>0,logcos1sin1>0,
a
设logsin1cos1=a,则得(sin1)=cos1<sin1,a>1;logcos1sin1=b,则
b
(cos1)=sin1>cos1,0<b<1;即logcos1sin1<logsin1cos1.
cd
设logsin1tan1=c,logcos1tan1=d,则得(sin1)=(cos1)=tan1,(指数函数图象
进行比较),c<<logcos1tan1
故选C.
:O到面PAB、PBC、∠APB=α,则
1
V=d(PQ·PR+PR·PS+PS·PQ)sinα.(其中d为O与各侧面的距
PQRS6
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离).
1
V=PQ·PR·PSsinαsinθ.(其中θ为PS与面PQR的夹角)
PQRS6
∴d(PQ·PR+PR·PS+PS·PQ)=PQ·PR·PSsinθ.
111sinθ
∴++=.
PQPRPSd
二
:设α=x+yi,(x,y∈R),则|α-β|=2|y|.∴y=±3.
2
设argα=θ,则可取θ+2θ=2π,(因为只要求|α|,故不必写出所有可能的角).θ=π,于是x=±1.|α|=2.
3
:设球半径为R,其内接圆锥的底半径为r,高为h,作轴截面,则r2=h(2R-h).
1πππ4R384
V=πr2h=h2(2R-h)=h·h(4R-2h)≤=·πR3.
锥3366(3)273h
∴所求比为8∶
:令lgx=t,则得t2-2=[t].作图象,知t=-1,t=2,及1<t<2内有一解.
13
当1<t<2时,[t]=1,t=:x=,x=100,x=10,即共有3个实根.
10
:如图,即△+y=100围成区域(包括边界)内的整点数
=1+2+3+…+101=5151个.
11
由x轴、y=x,x+y=100围成区域(不包括y=x上)内的整点数(x=1,2,3时各有1个整点,x=4,5,6时
33
各有2个整点,…,x=73,74,75时有25个整点,x=76,77,…,100时依次有25,24,…,
有3×1+3×2+…+3×25+25+24+…+1=4(1+2+…+25)=,由y轴、y=3x、x+y=100围成的区
域内也有1300个整点.
∴所求区域内共有5151-2600=2551个整点.
:顶点染色,有5种方法,
41
底面4个顶点,用4种颜色染,A4=24种方法,用3种颜色,选1对顶点C2,这一对顶点用某种颜色染C
121122
4,余下2个顶点,任选2色染,A3种,共有C2C4A3=48种方法;用2种颜色染:A4=12种方法;
∴共有5(24+48+12)=420种方法.
:1995=15×,共1862个,这此数均符合要求.
在所有15的倍数的数中,152的倍数有8个,这此数又可以取出,|A|≥1870.
又{k,15k}(k=9,10,11,…,133)中的两个元素不能同时取出,故|A|≤1995-133+8=1870.
三
8sinθ+cosθ+1
:以y=2x代入曲线方程得x=0,x=.
2sinθ-cosθ+3
8sinθ+cosθ+1
∴所求弦长l=|x|的最大值即可.
|2sinθ-cosθ+3|
由(2x-8)sinθ-(x+1)cosθ=1-3x.(2x-8)2+(x+1)2≥(1-3x)2,即x2+16x-16≤0.
247
解之得,-8≤x≤|x|≤8(当sinθ=±,cosθ=∓时即可取得最大值).故得最大弦长为85.
2525
:x=
5x2-5px+66p-1=0
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的两个根为正整数即可.
设此二正整数根为u、,
u+v=p①
1
uv=(66p-1)②
{5)
消去p,得5uv-66(u+v)=-:52uv-5×66u-5×66v=-5.
∴(5u-66)(5v-66)=662-5=4351=19×、v均为整数,故5u-66、5v-66为整数.
5u-66=1,-1,19,-19,
∴{5v-66=4351,-4351,229,-229.)
∴其中使u、v为正整数的,只有u=17,v==76.
∥NP,因AB∥DC,故可以考虑证明∠AMQ=∠∠A=∠C,故可证ΔAMQ∽Δ
∶AQ=CP∶CN.
证明设∠ABC=2,∠BNM=2,∠BMN=
1A
由ON平分∠ONM,得∠ONC=∠ONM=(180-2)=90-;EH
2MQ
同理,∠OMN=∠OMA=90-γ.¦2Ã
BD
2¦ÁO
而∠CON=180-∠OCN-∠ONC=+=90-γ,于是ΔCON∽ΔAMO,¦2Â
NP
2
∴AM∶AO=CO∶CN,即AM·CN=
同理,AQ·CP=AO2,∴AM·CN=AQ·
∴ΔAMQ∽ΔCPN,∴∠AMQ=∠CPN.
∴MQ∥NP.
:首先证明平面上一定存在三个顶点同色的直角三角形.
任取平面上的一条直线l,、Q,不妨设P、
PSR
P、Q作直线l的垂线l1、l2,若l1或l2上有异于P、Q的点着红色,、l2l1
上除P、Q外均无红色点,则在l1上任取异于P的两点R、S,则R、S必着蓝色,过R作l1的垂线交
lT
l2于T,则T必着蓝色.△
设直角三角形ABC三顶点同色(∠B为直角).把△ABC补成矩形ABCD(如图).把矩形的每边都分成n
等分(n为正奇数,n>1,本题中取n=1995).连结对边相应分点,把矩形ABCD分成n2个小矩形.
AB边上的分点共有n+1个,由于n为奇数,故必存在其中两个相邻的分点同色,(否则任两个相邻分点异
色,则可得A、B异色),不妨设相邻分点E、、F所在的小矩形的另两个顶点E、F,若
E、F异色,则△EFE或△DFF、F同色,再考察以此二点为顶点
而在其左边的小矩形,….这样依次考察过去,不妨设这一行小矩形的每条竖
边的两个顶点都同色.
同样,BC边上也存在两个相邻的顶点同色,设为P、Q,则考察PQ所在的小
矩形,同理,若P、Q所在小矩形的另一横边两个顶点异色,则存在三顶点同色
,PQ所在列的小矩形的每条横边两个顶点都同色.
现考察EF所在行与PQ所在列相交的矩形GHNM,如上述,M、H都与N同
色,△MNH为顶点同色的直角三角形.
由n=1995,故△MNH∽△ABC,且相似比为1995,且这两个直角三角形的顶点分别同色.
证明2:首先证明:设a为任意正实数,(设为红色点),以O为圆
心,2a为半径作圆,若圆上有一个红点,则存在距离为2a的两个红点,若圆上没有红点,则任
FE
一圆内接六边形ABCDEF的六个顶点均为蓝色,
个蓝色点.
下面证明:存在边长为a,3a,2a的直角三角形,,存在距离为2a的AB
CD
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同色两点A、B(设为红点),以AB为直径作圆,并取圆内接六边形ACDBEF,若C、D、E、F中有任一点
为红色,、D、E、F为蓝色,则存在满足要求的蓝色三角形.
下面再证明本题:由上证知,存在边长为a,3a,2a及1995a,19953a,19952a的两个同色三角形,满
足要求.
证明3:以任一点O为圆心,a及1995a为半径作两个同心圆,在小圆上任取9点,必有5点同色,设为
A、B、C、D、E,作射线OA、OB、OC、OD、OE,交大圆于A,B,C,D,E,则此五点中必存在三
点同色,设为A、B、C.则ABC与ABC为满足要求的三角形.
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