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清北学长精心打造——卓越联盟自主招生数学模拟试题及参考答案(六)

22
,抛物线y=(n+n)x(2n+1)x+1与x轴交于An,Bn两点,以|AnBn|表示该两点的距离,则
|A1B1|+|A2B2|++|A1992B1992|的值是()
1991199219911993
(A)(B)(C)(D)
1992199319931992
,1为半径的圆的一部分,则这一曲线的方程是()
(A)(x+1-y2)(y+1-x2)=0(B)(x1-y2)(y1-x2)=0
(C)(x+1-y2)(y1-x2)=0(D)(x1-y2)(y+1-x2)=0y
41
,S,S,S,它们的最大值为S,记λ=(S)/S,则λ一定满足
1234iΣ=1i
1O1x
()
(A)2<λ≤4(B)3<λ<4(C)<λ≤(D)<λ<1
CsinB
△ABC中,角A,B,C的对边分别记为a,b,c(b1),且,都是方程logx=log(4x-4)的
AsinAbb
根,则△ABC()
(A)是等腰三角形,但不是直角三角形(B)是直角三角形,但不是等腰三角形
(C)是等腰直角三角形(D)不是等腰三角形,也不是直角三角形
22
,z2在复平面上对应的点分别为A,B,且|z1|=4,4z12z1z2+z2=0,O为坐标原点,则△OAB的面积为()
(A)83(B)43(C)63(D)123
(x)是定义在实数集R上的函数,且满足下列关系f(10+x)=f(10x),f(20x)=f(20+x),则f(x)是
(A)偶函数,又是周期函数(B)偶函数,但不是周期函数
(C)奇函数,又是周期函数(D)奇函数,但不是周期函数

111xz
,y,z是实数,3x,4y,5z成等比数列,且,,成等差数列,则+的值是______.
xyzzx
[0,]中,三角方程cos7x=cos5x的解的个数是______.
,使得其中任意两条线段所在的直线都是异面直线,则k的最大值是_____.
z2
,z都是复数,且|z|=3,|z|=5|z+z|=7,则arg()3的值是______.
121212z1
,a2,,an,满足a1=a2=1,a3=2,且对任何自然数n,都有anan+1an+21,又anan+1an+2an+3=an+an+1+an+2+an+3,
则a1+a2++a100的值是____.
(x)=x4-3x2-6x+13-x4-x2+1的最大值是_____.
41
:16<<17.
iΣ=1k
四.)设l,m是两条异面直线,在l上有A,B,C三点,且AB=BC,过A,B,C分别作m的垂线AD,BE,CF,垂足依次是D,
7
E,F,已知AD=15,BE=CF=10,求l与m的距离.
2
xn+1-x-n-11
,f(x)=(x0,±1),令y=x+.
nx-x-1x
:fn+1(x)=yfn(x)fn-1(x),(n>1)
:
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n
1i
nn-2in-2i
y-Cn-1y+…+(-1)Cn-iy+…+(-1)2,(i=1,2,…,\f(n,2),n为偶数)
fn(x)=n-1n-1
1i
nn-2i
y-Cn-1y+…+(-1)Cn-i+…+(-1)2Cn2+1y,(i=1,2,…,\f(n-1,2),n为奇数)
{2)
答案
一
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111992
:y=((n+1)x-1)(nx-1),∴|AB|=-,于是|AB|+|AB|++|AB|=,选B.
nnnn+11122199219921993
:(x1-y2)=0表示y轴右边的半圆,(y+1-x2)=0表示x轴下方的半圆,故选D.
444
:S≤4S,故S≤4,又当与最大面相对的顶点向此面无限接近时,S接近2S,故选A.
iΣ=1iiΣ=1iiΣ=1i
:x2=4x-=2.∴C=2A,B=180°-3A,sinB=2sinA.sin3A=2sinA,
3-4sin2A==30°,C=60°,B=90°.选B.
2z1ππ13
:=cos±isin.∴|z|=8,z、z的夹角=60°.S=·4·8·=.
z23321222
:f(20-x)=f[10+(10-x)]=f[10-(10-x)]=f(x)=-f(20+x).
∴f(40+x)=f[20+(20+x)]=-f(20+x)=f(x).∴是周期函数;
∴f(-x)=f(40-x)=f(20+(20-x)=-f(20-(20-x))=-f(x).∴.
二
2xz(x+z)264xz34
:16y2=15xz,y=,16·4x2z2=15xz(x+z)≠0,得=,+=.
x+zxz15zx15
1D'C'
:7x=5x+2kπ,或7x=-5x+2kπ,(k∈Z)x=kπ,x=kπ(k∈Z),共有7解.
6A'
B'
:正方体共有8个顶点,若选出的k条线两两异面,则不能共顶点,即至多可选出4条,又可
D
C
以选出4条两两异面的线(如图),故所求k的最大值=4.
AB
32+52-721
:cos∠OZ1Z3==-.即∠OZ1Z3==120°,
2352
z2π5π
∴arg()=或.
z133
z2
∴arg()3=π.
z1
:anan+1an+2an+3=an+an+1+an+2+an+3,an+1an+2an+3an+4=an+1+an+2+an+3+an+4,
相减,得anan+1an+2(a4-an)=an+4-an,由anan+1an+21,得an+4=an.
又,anan+1an+2an+3=an+an+1+an+2+an+3,a1=a2=1,a3=2,得a4=4.
∴a1+a2++a100=25(1+1+2+4)=200.
:f(x)=(x2-2)2+(x-3)2-(x2-1)2+x2,表示点(x,x2)与点A(3,2)的距
离及B(0,1),故过此二点的直线必与抛物线
,到此二点距离之差大于|AB|=.
三
122
证明:=<=2(k-k-1),
kk+kk-1+k
12
同时>=2(k+1-k).
kk+1+k
8080180
于是得2(k+1-k)<<1+2(k-k-1)
kΣ=1kΣ=1kkΣ=1
801
即16<<1+2(80-1)<1+2(9-1)=17
kΣ=1k
四
解:过m作平面α∥l,作AP⊥α于P,AP与l确定平面β,β∩α=l,l∩m=K.
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作BQ⊥α,CR⊥α,垂足为Q、R,则Q、R∈l,且AP=BQ=CR=l与m的距离d.
CBA
连PD、QE、RF,则由三垂线定理之逆,知PD、QE、RF都⊥

49
PD=15-d2,QE=-d2,RF=10-d2.
4
mRQP
当D、E、F在K同侧时2QE=PD+RF,
K
l'FE
49-4d2=15-d2+10-=6D
当D、E、F不全在K同侧时2QE=PD-RF,49-4d2=15-d2-10-.
∴l与m距离为6.
五
(x+)(xn+1-x-n-1)-xn+x-nxn+2-x-n-2
证明:⑴由yf(x)f(x)===f(x).故证.
nn-1x-x-1x-x-1n+1
11
⑵f(x)=x+,f(x)=x2+1+x-2=(x+)2-1=y2-=1,2成立.
1x2x
设对于n≤m(m≥2,m为正整数),命题成立,现证命题对于n=m+1成立.
,则m+,对于n=m及n=m-1,有
mmm
12im-2
f(x)=ym-Cym-2+Cym-4+…+(-1)iCym-2i+…+(-1)2C2my2①
mm-1m-2m-im-
2
m-2m-2
1i-1
m-1m-3i-1m+1-2i
fm-1(x)=y-Cm-1y+…+(-1)Cm-iy+…+(-1)2·C2my②
2
mmm
ii-1-1
∴yf(x)-f(x)=ym+1-…+(-1)i(C+C)ym+1-2i+…+(-1)2(C2m+C2m)y
mm-1m-im-im-m-
22
mm
1i
=ym+1-Cym-1+…+(-1)iCym+1-2i+…+(-1)2·Cm2y
m+1-1m-i+1+1
2
即命题对n=m+1成立.
,则m+1为偶数,由归纳假设知,对于n=m及n=m-1,有
m-1m-1
1i
m-1m-2im-2i
fm(x)=y-Cm-2y+…+(-1)·Cm-iy+…+(-1)2·Cm-21y③
2
m-1m-1
1i-1
m-1m-3i-1m+1-2i
fm-1(x)=y-Cm-2y+…+(-1)Cm-iy+…+(-1)2Cm-21④
2
用y乘③减去④,同上合并,并注意最后一项常数项为
m-1m-1m-1m+1m+1
-(-1)2Cm-21=-(-1)2Cm2+1=(-1)2.
22
m+1
m+11m-1
于是得到yfm(x)-fm-1(x)=y-Cmy+…+(-1)2,即仍有对于n=m+1,命题成立
综上所述,知对于一切正整数n,命题成立.
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