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高考数学最后冲刺必读题解析〔19〕
20.〔本小题总分值14分〕函数f(x)exkx,(xR)
1
〔1〕当k0时,假设函数g(x)的定义域是R,求实数m的取值范围;
f(x)m
〔2〕试判断当k1时,函数f(x)在(k,2k)内是否存在零点.
20、解:〔1〕当k0时,f(x)exx,f(x)ex1
∴f(x)在,0上单调减,在0,上单调增.
∴f(x)minf(0)1,………5分
xR,f(x)1f(x)10成立,m1………7分
〔2〕当k1时,f(x)exkx,f(x)exk10在(k,2k)上恒成立.…9分
∴f(x)在(k,2k)上单调增.(且连续)
且f(k)ekkk1k0,…………10分
f(2k)e2kk2kek2k
k
f(2k)e20,f(2k)在k1时单调增,∴f(2k)e20………13分
∴由零点存在定理知,函数f(x)在(k,2k)内存在零点.…………14分
x2
21.〔本小题总分值14分〕曲线C:ye〔e为自然对数的底数〕,曲线C:
1e2
y2elnx和直线l:y2x.
〔1〕求证:直线l与曲线C1,C2都相切,且切于同一点;
〔2〕设直线xt(t0)与曲线C1,C2及直线l分别相交于M,N,P,记
f(t)|PM||NP|,求f(t)在[e3,e3]上的最大值;
m
〔3〕设直线xe〔m为自然数〕与曲线C1和C2的交点分别为Am和Bm,问是否
存在正整数n,使得A0B0AnBn?假设存在,求出n;假设不存在,请说明理由.(本小
题参考数据e≈).
x22x2x
〔1〕证:yey'由y'2得xe…………2分
eee
在C1上点(e,2e)处的切线为y2e2(xe),即y2x…………3分
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又在C2上点(e,2e)处切线可计算得y2e2(xe),即y2x
∴直线l与C1、C2都相切,且切于同一点〔e,2e〕…………………4分
t2t2
〔2〕f(t)e2t(2t2elnt)2elnt4te
ee
2t12t22e24et2(te)2
f'(t)2e40…………………6分
etetet
∴f(t)在e3,e3上递增
e6
∴当te3时f(t)2elne34e3ee54e37e……………8分
maxe
(en)2(e2)n
〔3〕ABe2elnene2ne
nnee
(e2)n2(e2ne2)
设上式为g(n),假设n取正实数,那么g'(n)·lne22e
ee
当n(0,1)时,g'(n)0,g(n)递减;
当n(1,),g'(n)0,g(n)递增.……………………………………12分
1
g(0)ABe
00e
1
g(1)2e2e0g(2)e3e4ee33e3e2ee
e
∴不存在正整数n,使得g(m)g(0)
即AnBnA0B0…………………………………………14分
20.〔本小题共12分〕
在直角坐标系xOy中,动点P到两定点(0,3),(0,3)的距离之和等于4,设动点P
的轨迹为C,过点(0,3)的直线与C交于A,B两点.
〔1〕写出C的方程;
〔2〕设d为A、B两点间的距离,d是否存在最大值、最小值;假设存在,求出d的最大
值、最小值.
20.〔本小题总分值12分〕
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解:〔1〕设P(x,y),由椭圆定义可知,点P的轨迹C是以(0,3),(0,3)为焦
22
点,2(3)1,
y2
x21
故曲线C的方程为4.……4分
,,,
〔2〕①设过点(0,3)的直线方程为y=kx+3,A(x1y1)B(x2y2),
y2
x21,
4
ykx3.
其坐标满足
22
消去y并整理得(k4)x23kx10.……6分
23k23k2
,
x1x22y1y2k(x1x2)23223
∴k4k4。
a2a23k2
dAF||BFe(y1)e(y2)2ae(y1y2)23
∴cc=4k4
12
42
=k4。
2
∵k0,∴k=0时,d取得最小值1。……10分
②当k不存在时,过点(0,3)的直线方程为x=0,此时交点A、B分别为椭圆C的长轴的
两端点,
∴d取最大值4.……12分
综上,d的最大值、最小值存在,分别为4、1.……12分
21.〔本小题总分值12分〕
n,其中LL
在数列{an}中,a10,an1an3n1,2,3.
〔1〕求a2,a3的值;
〔2〕求数列{an}的通项公式;
an
〔3〕求an1的最大值.
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21.〔本小题总分值12分〕
aa3n(n1,2,3
解〔1〕由a10,且n1n…〕
aa326
得a2a13332.……2分
n
〔2〕由an1an3变形得
3n13n
an1(an)
44,
3n33
{an}a1
4是首项为44公比为1的等比数列
nn
33n13n3
an(1)an(1)
44即44〔n1,2,3〕……6分
〔3〕①当n是偶数时
3n3

a3n314
n44
a3n133n1333n13
n1_
44
an
an1随n增大而减少
an1
当n为偶数时,an1最大值是2.……9分
②当n是奇数时
3n3
n
a3314
n44
a3n133n1333n13
n1
44
anan1411
n1
an1随n增大而增大且an133332
an1
综上an1最大值为2……12分
22.〔本小题总分值12分〕
1
f(x)alnx
函数x.
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〔1〕当a0时,求函数f(x)的单调区间和极值;
〔2〕当a0时,假设对任意x0,均有ax(2lnx)1,求实数a的取值范围;
xx
f(12)
〔3〕假设a0,对任意x1、x2(0,),且x1x2,试比拟2与
f(x1)f(x2)
2的大小.
22.〔本小题总分值12分〕
a1

f(x)2
解由题意x0,xx……2分
a11
20x
〔1〕当a0时,由f(x)0得xx,解得a,
1
(,)
即函数f(x)的单调增区间是a;
a111
20x(0,)
由f(x)0得xx,解得a,即函数f(x)的单调减区间是a
1
x
∴当a时,函数f(x)有极小值,
11
f()alnaaalna
极小值为aa……5分
〔2〕当a0时,∵对任意x0,均有ax(2lnx)1,即有对任意x0,
1
2aalnx
x 恒成立,
∴对任意x0,只须2af(x)min
由〔1〕可知,函数f(x)的极小值,即为最小值,∴2af(x)minaalna,解得
1
0a
e
1
0a
即a的取值范围为e……9分
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高考数学最后冲刺必读题解析(19)
xxf(x)f(x)xx(xx)2
f(12)12aln1212
222xx(xx)
〔3〕2x1x21212
xx
121
xx2xx2xx
∵x10,x20且x1x2,a0,∴1212,∴12,
2
x1x2(xx)
aln0120
2xx
12又2x1x2(x1x2),
xx(xx)2
aln12120
2xx(xx)
∴2x1x21212
xxf(x)f(x)xxf(x)f(x)
f(12)120f(12)12
∴22,即22. ……12分
20.〔本小题总分值12分〕
6x2y2
点M是离心率是的椭圆C:1(ab0)上一点,过点M作直线
3a2b2
MA、MB交椭圆C于A,B两点,且斜率分别为k1,k2.
〔I〕假设点A,B关于原点对称,求k1k2的值;
〔II〕假设点M的坐标为〔0,1〕,且k1k23,求证:直线AB过定点;并求直线
AB的斜率k的取值范围。
20.〔此题总分值12分〕
6
〔I〕由e得,a23b2,椭圆方程为x23y23b2
3
设A(x1,y1),B(x1,y1),M(x0,y0)
由A,M是椭圆上的点得,
222
x13y13b①
222
x03y03b②
y2y21
①—②得,10
22
x1x03
yyyyy2y21
101010〔定值〕………………5分
k1k222
x1x0x1x0x1x03
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高考数学最后冲刺必读题解析(19)
〔II〕点M的坐标为〔0,1〕,那么b21,椭圆方程为x3y23
显然直线AB的斜率存在,设直线AB的方程为ykxt,代入椭圆方程得,
(3k21)x26ktx3(t21)0
6kt3(t21)
xx,xx
123k21123k21
y11y21
由k1k23得,3③,
x1x2
又y1kx1t,y2kx2t④,
由③,④得,(t1)(x1x2)(2k3)x1x20,
6kt3(t21)
(t1)(2k3)0,
3k213k21
2k3
化简得,(t1)(t)0
3
2k3
t1(舍)或t,………………9分
3
2k32
那么直线AB的方程为ykxk(x)1
33
2
直线AB过定点(,1)………………10分
3
21.〔本小题总分值12分〕
2
幂函数f(x)xm2m3(mZ)为偶函数,且在区间(0,)上是单调增函数。
〔I〕求函数f(x)的解析式;
19
〔II〕设函数g(x)f(x)ax3x2b(xR),其中a,bR.
42
〔i〕假设函数g(x)仅在x0处有极值,求a的取值范围;
〔ii〕对于任意的a[1,1],不等式g(x)2在[—2,2]上恒成立,求b的取值
范围。
21.〔此题总分值12分〕
解:〔I〕f(x)在区间(0,)上是单调增函数,
m22m30即m22m30
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高考数学最后冲刺必读题解析(19)
1m3,又mZ,m0,1,2………………2分
而m0,2时,f(x)x3不是偶函数,m1时,f(x)x4是偶函数。
f(x)x4………………4分
〔II〕〔i〕g(x)x(x23ax9),显然x0不是方程x23ax90的根。
为使g(x)仅在x0处有极值,
必须x23ax90恒成立,………………6分
即有9a236,
得a[2,2].这时,g(0)=-b是唯一极值。
a[2,2].………………8分
〔ii〕由条件a[1,1],可知9a2360,从而x23ax90恒成立。
当x0时,g(x)0;当x0时,g(x)0.………………9分
因此函数g(x)在[—2,2]上的最大值是g(2)与g(2)两者中较大者。…………10
分
为使对方任意的a[1,1],不等式g(x)2在[—2,2]上恒成立,
g(2)2b208a
当且仅当,即,在a[1,1]上恒成立。
g(2)2b208a
所以b28,因此满足条件的b的取值范围是28,.…………12分
请考生在第22、23、24三题中任选一题作答,如果多做,那么按所做的第一题记分。
22.〔本小题总分值10分〕选修4—1:几何证明选讲
如图,⊙O内切于△ABC的边于D,E,F,AB=AC,连接AD交⊙O于点H,直线HF
交BC的延长线于点G。
〔I〕求证:圆心O在直线AD上;
〔II〕求证:点C是线段GD的中点。
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22.〔此题总分值10分〕
〔I〕证明:
ABAC,AFAE
CDBE
又CFCD,BDBE
CDBD
又ABC是等腰三角形,
AD是CAB的角分线
∴圆心O在直线AD上。………………5分
〔II〕连接DF,由〔I〕知,DH是⊙O的直径,
DHF90,FDHFHD90
又GFHD90
FDHG
O与AC相切于点F
AFHGFCFDH
GFCG
CGCFCD
∴点C是线段GD的中点。………………10分
23.〔此题总分值10分〕
〔I〕直线的普通方程为:2xy10;
圆的直角坐标方程为:(x1)2(y2)5………………4分
5
〔II〕圆心到直线的距离d,
5
430
直线被圆截得的弦长L2r2d2………………10分
5
24.〔此题总分值10分〕
证明:下面用数学归纳法证明
〔1〕n2时,|sin(12)||sin1cos2cos1sin2|
sin1|cos2||cos1||sin2|sin1sin2,
所以n2时成立.
〔2〕假设nk(k2)时成立,即
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|sin(12k)|sin1sin2sink
当nk1时,|sin(12k1)|
|sink1cos(1k)cosk1sin(1k)|
sink1|cos(1k)||cosk1||sin(1k)|
sink1|sin(1k)|
sin1sin2sink1
nk1时也成立.
由〔1〕〔2〕得,原式成立。………………10分
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