高考数学高频考点1集合与简易逻辑.pdf

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高考数学高频考点1集合与简易逻辑
高考数学高频考点1、集合与简易逻辑
〔2〕以函数与方程、三角函数、不等式、向量、圆锥曲线等知识为内核,以集合语言和符
号语言为外在表现形式,结合简易逻辑知识考查数学思想与方法,多以解答题形式出现,
这类题往往具有“稳中求新〞、“稳中求活〞等特点.
押猜题1
对于集合M、N,定义MNx|xM,且xN,MN(MN)(NM)
.设A1,2,3,4,5,6,7,B4,5,6,7,8,9,10,那么AB〔〕
A.4,5,6,7B.1,2,3,4,5,6,7C.4,5,6,7,8,9,10D.1,2,3,8,9,10
解析由题意,AB1,2,3,BA8,9,10,AB1,2,3,8,9,10.应选D.
点评此题是一道信息迁移题,弄懂MN及MN的本质含义并掌握集合的根本运算
是正确求解的关键.
押猜题2
P:lg[x(1x)1]0{x0x1}Q:ABCAB
不等式的解集为在三角形中,是
2A2B
cos()cos()
2424成立的必要而非充分条件,那么〔〕


lg[x(1x)1]0x(1x)11,xx20,0x1,
解析依题意,由得解得P正

cos(A)cos(B)
确;在三角形ABC中,ABsinAsinB22
2A2B2A2B
2cos()12cos()1cos()cos(),
42424242Q
高考数学高频考点2、函数
函数既是高中数学最重要的根底知识又是高中数学的主干知识,还是高中数学的主要工
具,在高考中占有举足轻重的地位,其考查的内容是丰富多彩的,考查的方式是灵活多变
的,既有以选择题、填空题形式出现的中低档试题,也有以解答题形式出现的中高档试
题,更有以综合了函数、导数、不等式、
题、填空题的形式考查函数的根底知识和根本方法,以解答题的形式考查函数的综合应
用.
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高考数学高频考点1集合与简易逻辑
押猜题3
f(x)是定义在R上的偶函数,且对于任意的xR都有f(x2)f(x),假设当
x[0,2]时,f(x)lg(x1),那么有〔〕
3737
f()f(1)f()f()f()f(1)

3773
f(1)f()f()f()f(1)f()

解析f(x2)f(x)f(x22)f(x2)f(x),f(x)f(x)是定义在R
33711
f()f(),f()f()f(),
上的偶函数,那么f(x)f(x),那么22222因为当
37
f()f(1)f().
x[0,2]时,f(x)lg(x1)为增函数,故22应选A.
“小、巧、精、活〞的特点,是一道难得的好题.
押猜题4
f(x)(1x)2ln(1x)2.
〔理〕函数
〔1〕求函数f(x)的单调区间;
1
x[1,e1]
〔2〕假设当e时〔其中e〕,不等式f(x)m恒成立,求实数
m的取值范围;
f(x)x2xa[0,2]
〔3〕假设关于x的方程在区间上恰好有两个相异的实根,求实数
a的取值范围.
2
22f(x)2(1x).
解析因为f(x)(1x)ln(1x),所以1x
21
f(x)2(1x)2[(1x)]02x1
〔1〕令1x1x或x0,所以
f(x)的单调增区间为(2,1)和(0,);
21
f(x)2(1x)2[(1x)]01x0
令1x1x或x2,
所以f(x)的单调减区间为(1,0)和(,2).
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高考数学高频考点1集合与简易逻辑
21
f(x)02(1x)0x0[1,e1]
〔2〕令1x或x2,函数f(x)在e上
1121
f(1)22,f(0)1,f(e1)e2,x[1,e1]
是连续的,又ee所以,当e时,
f(x)e22.
的最大值为
1
x[1,e1]2
故e时,假设使f(x)m恒成立,那么me2.
a(1x)ln(1x)2[0,2]
〔3〕原问题可转化为:方程在区间上恰好有两个相异的实根.
2
2g(x)1,
g(x)(1x)ln(1x),1xg(x)0,x1,
令那么令解得:
当x(0,1)时,g(x)0,g(x)在区间(0,1)上单调递减,
当x(1,2)时,g(x)0,g(x)在区间(1,2)上单调递增.
g(x)在x0和x2处连续,
又g(0)1,g(1)2ln4,g(2)3ln9,
且2ln43ln91,当x[0,2]时,g(x)的最大值是1,g(x)的最小值是2ln4.
[0,2]f(x)x2xa
在区间上方程恰好有两个相异的实根时,实数a的取值范围是:
2ln4a3ln9.
点评此题考查导数在研究函数性质,不等式恒成立,参数取值范围等方面的应用,充分
,往往处在““把关题〞或压轴题〞的
位置,具有较好的区分和选拔功能.
1
〔文〕函数yf(x)与函数yf(x)互为反函数,且函数yf(x1)与函数
yf1(x1)f(1)0f1(2010)
也互为反函数,假设,那么=〔〕
.2009D.2010
yf(x1)yf1(x)1,yf(x1)
解析求得函数的反函数为又函数与函数
1111
yf(x1)也互为反函数,所以f(x1)f(x)1,f(2010)
111
f(2009)1f(2008)2f(0)201012010.
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11
点评“此题是以年份〞为背景的代数推理题,挖掘出f(x1)f(x)1是解题的
关键,是推理的根底,
而言有相当的难度.
高考数学高频考点3、数列
数列是高中数学的重要内容,也是学****高等数学的根底,它蕴含着高中数学的四大思想及
累加〔乘〕法、错位相减法、倒序相加法、裂项相消法等根本数学方法;本局部内容在高
考中的分值约占全卷的10%~15%,其中对等差与等比数列的考查是重中之重.
近年来高考对数列知识的考查大致可分为以下三类:
〔1〕关于两个特殊数列的考查,主要考查等差、等比数列的概念、性质、通项公式以及前
n项和公式等,多以选择题、填空题形式出现,难度不大,属于中低档题;
〔2〕与其他知识综合考查,偶尔结合递推数列、数学归纳法、函数方程、不等式与导数等
知识考查,以最值与参数问题、恒成立问题、不等式证明等题型出现,一般难度比拟大,
多为压轴题,并强调分类讨论与整合、转化与化归等数学思想的灵活运用;
押猜题5
a,b,ab,a,b,ab0logm(ab)1,m
为等差数列为等比数列,且那么的取值范围是
〔〕
mm1或m8
2baab,
2
baab,a2,
a0,b0.
b(ab)logm8,0logm81
解析依题意得解得所以由得
m.
点评此题考查等差数列和等比数列的概念和性质,将简单对数不等式的解法融入其中考
查表达了学科内知识的交汇性.
押猜题6
{an}nSna14,
〔理〕数列的前项和为,且
n(n1)
Snnan2,
2(n2,nN*).
{an}
〔1〕求数列的通项公式;
{b}bb2(n1)b2,(nN*),
〔2〕设数列n满足:b14,且n1nn求证:
bnan(n2,nN*)
;
11113
(1)(1)(1)(1)e.
b2b3b3b4b4b5bnbn1
〔3〕求证:
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n(n1)
Snnan2,
解析〔1〕当n3,nN*时,2
(n1)(n2)
Sn1(n1)an12,
2
n1
annan(n1)an12,
两式相减得:2
anan11(n3,nN*).
a1a22a221,a23.
4(n1),
an
n1(n2,nN*).
可得,
2
〔2〕①当n2时,b2b12143a2,不等式成立.
nk(k2,kN*)bkkk1
②假设当时,不等式成立,即那么,当时,
bb2(k1)b2b(bk1)22b22(k1)22kk2,
k1kkkkk
所以当nk1时,不等式也成立.
n2,nN*bnan.
根据①、②可知,当时,
1x
f(x)10,
〔3〕设f(x)ln(1x)x,x(0,).那么1x1x
函数f(x)在(0,)上单调递减,f(x)f(0),ln(1x)x.
111
,
当n2,nN*时,bnann1
11111
ln(1),
bnbn1bnbn1(n1)(n2)n1n2
1111111
ln(1)ln(1)ln(1)
b2b3b3b4bnbn134n1n2
111
,
3n23
1113
(1)(1)(1)e.
b2b3b3b4bnbn1
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1
f(1).
〔文〕函数f(x)对任意实数p,q都满足:f(pq)f(p)f(q),且3
〔1〕当nN*时,求f(n)的表达式;
3
Sn
annf(n)(nSn{an}n4
〔2〕设N*),是数列的前项的和,求证:;
nf(n1)
bn(n
f(n){bn}nTn
〔3〕设N*),设数列的前项的和为,试比拟
1111

T1T2T3Tn

1
f(n1)f(n)f(1),f(1),
解析〔1〕3
1
f(n1)f(n)(n
3N*),
11
f(1)
f(n)是以3为首项,以3为公比的等比数列,
11n11n
f(n)(),f(n)()(n
33即3N*).
1n
ann(),
〔2〕3
112131n11n
Sn12()3()(n1)()n(),
33333①
11213141n1n1
Sn1()2()3()(n1)()n(),
333333②
①-②得:
2112131n1n1
Sn()()()n()
333333
11n
[1()]
331n1
n()
13
1
3
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11n1n1
[1()]n(),
233
331nn1n
Sn()().
44323
3
Sn.
nN*,4
nf(n1)1
bnn,
〔3〕f(n)3
1n(n1)n(n1)
Tn,
326
111
6().
Tnnn1
1**********
6(1)6(1).
T1T2T3Tn22334nn1n1
nN*,
1111
6.
T1T2T3Tn
“2〕问所用的“3〕问所用的“赋值法〞,第〔错位相减法〞,第〔裂项相消法〞等是高
考必考的重要方法和技巧.
高考数学高频考点4、三角函数
押猜题7

f(x)sin(2x),
关于函数4

f(x)cos(2x)
①其表达式可写成4;

x
②直线8是函数f(x)图象的一条对称轴;

③函数f(x)的图象可由函数g(x)sin2x的图象向右平移4个得到;
④存在(0,),使得f(x)f(x3)恒成立.
2
f(x)sin(2x),f(0),
解析对于4有2
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高考数学高频考点1集合与简易逻辑
2
f(x)cos(2x),f(0),f()1,
而对于4那么有2所以①错误;因为8所以②正

f(x)sin(2x)sin[2(x)],f(x)
确;48的图象是由g(x)sin2x的图象向右平移

,
8个得到的,所以③错误;因为是函数的最小正周期,取2所以④②④.
“唯一性〞中“猜〞
押猜题8
2BC
m(sin,1)
在ABC中,a、b、c分别为角A、B、C的对边,假设2,
7
n(cos2A,4)
2,且m//n.
〔1〕求角A的度数;
3
SABC
〔2〕当a3,2时,求边长b和角B的大小.
2BC7
m//n,4sincos2A
解析(1)22,
27
2[1cos(BC)](2cosA1)0
2.
cos(BC)cosA,4cos2A4cosA10
,
1
2cosA
即(2cosA1)0,0A180,A60.
1133
SABCbcsinA,bc
〔2〕2222,即bc2.①
ABCa2b2c22bccosAb2c2bc
在中,由余弦定理,得
(bc)23bc3,(bc)29
,即bc3.②
b2b1

c1c2
由①、②解得,或.
sinA
sinBb1,B90
当b2时,由正弦定理得a;
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sinA1
sinBb,ba,BA
当b1时,a2,B30.
综上,b2,B90或b1,B30.
点评“此题是一道用平面向量包装〞的三角题,考查三角形中的三角函数问题,其中正
弦定理、余弦定理、三角形的面积公式等的参与,,能有效
稳定考生的考试情绪,吊起考生的解题胃口.
高考数学高频考点5、平面向量
平面向量主要包括:平面向量的概念、平面向量的加减运算、平面向量的根本定理及坐标
运算、
系起来;平面向量的根本定理是平面向量坐标表示的根底,它揭示了平面向量的根本结
构;平面向量的坐标运算,将平面向量的运算代数化,
量来源于实践,又应用于实际,是高中数学中的知识工具,应该给予重视.
押猜题9

A,B,
ABC的外接圆的圆心为O,且43那么OAOB、OBOC、OCOA的大小
关系是〔〕
OBOBOCOCOCOCOAOAOB
OCOAOBOCOBOCOAOBOC
解析设ABC的外接圆的半径为R,
222
那么OAOBRcos2C,OBOCRcos2A,OCOARcos2B.

ABC,
由得2所以0sinAsinBsinC,
222
所以12sinA12sinB12sinC,
即cos2Acos2Bcos2C,所以OBOCOCOAOA.
点评涉及三角形中的向量的数量积问题,常常可以考虑利用向量的数量积的定义、正弦
定理、余弦定理来解决.
押猜题10
a(1,1),b(1,0),cac,bc0.
向量满足ac0且假设映射
f:(x,y)(x,y)xayc,那么在映射f下,向量(cos,sin)〔其中R)的原象
的模为________.
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mn0,
22
mn2,m1,
c(1,1).
c(m,n),m0.n1,
解析设那么由题意,得解得
1
x(sincos),
xycos,2

xysin.1
y(cossin).
(cos,sin)x(1,1)y(1,1),2
2212222
xy[(sincos)(cossin)]..
42故应填2
点评此题考查平面向量的坐标运算和三角变换的根本技能,其中映射的参与使此题显得
新颖别致,韵味十足.
高考数学高频考点6、不等式
不等式是解决初等数学问题的重要工具,它既可以解决函数、方程等方面的问题,又经常
同函数、方程相结合来解决代数、
新的今天,对不等式应用的考查所占比重越来越大,在高考卷中,不等式应用越来越普遍
地渗透到考题之中,既可以通过小题考查不等式根底知识和根本公式的应用,也可以在大
题、压轴题中考查学生的逻辑思维和综合解决问题的能力.
押猜题11
2ab
aabbab222
设a0,b0,以下不等式:①;②ab;③ab4ab3b
4
ab22
;④ab中恒成立的是〔〕
A.①③B.①④C.②③D.②④
a0,b0ab0ab,abab,abba;
解析对于①,由得即
2ab2ab
ab0,ab
对于②,由a0,b0得abab恒成立;
a2b2(4ab3b2)(a2b)20,
对于③,
a2b24ab3b2
因此;
对于④,由a0,b0得ab0,
444
ab2ab422,ab22
abab即ab恒成立.
因此,不等式②④.
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高考数学高频考点1集合与简易逻辑
点评此题考查不等式的性质和不等式证明的根本方法,是一道中规中矩,注重通性通法
的根底题.
高考数学高频考点7、直线和圆的方程
直线在高考中的考查热点之一是与直线有关的根本概念〔如直线的倾斜角、斜率、截距、
夹角、到角、两直线平行与垂直的条件等〕与根本公式〔如过两点的斜率公式、两点间的
距离公式等〕,二是求不同条件下的直线方程.
近几年高考对圆的考查有以下几种形式:
考查位置关系,重点是直线与圆的位置关系;考查求解圆的方程;利用圆的参数方程求最

定的比重.
这类试题所考查的数学思想与方法有:分类讨论思想、数形结合思想、转化与化归思想、
函数与方程思想及换元法、待定系数法等.
线性规划的考查特点:一是以选择题、填空题形式将直线方程、不等式、最值等内容融为
一体,考查线性规划的根底知识与根本应用;二是将线性规划与实际生活或其他知识结合
而命制试题,考查考生的综合素质.
押猜题12
22
假设直线ykx1与圆xykxmy40交于M、N两点,且M、N关于直线
kxy20

kxmy0
y0
xy0对称,动点P(a,b)在不等式组所表示的平面区域的内部及边界
b2

上运动,那么a1的取值范围是〔〕
A.(,2][2,)B.(,2)(2,)
C.[2,2]D.(2,2)
解析由题意可知直线ykx1与直线xy0垂直,所以k1,由题意知圆心
km
C(,)
22在直线xy0上,可求得m
xy20,

xy0,
b2
y0.
其所表示的平面区域如图中阴影局部所示,a1的几
Q(1,2)P(a,b)kOQ2,kAQ2,
何意义是点与平面区域上的点所以的取
值范围为:(,2][2,).应选A.
“等价转化〞的数学思想,将位置关系转化为求斜率范围的问题.
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高考数学高频考点1集合与简易逻辑
高考数学高频考点11、概率与统计〔文理科〕
高频考点11概率与统计〔仅限理科〕
从近年高考来看,数学试卷中有关“概率与统计〞的试题有如下特点:
,而随机变量的概率分布、期望与方

布列、期望与方差,并且大多安排在解答题的位置上.
,既表达了数学试题源于生活、趣味性强、时代气息浓
厚、人文特点鲜明的特点,又可以给考生创造一个公平、公正的竞争环境,给更优秀的学
生提供一个展示自我的平台,这些题目都源于生活,对考生具有亲和力.
.“概率与统计〞
,对其中的根底知识重新组合、变式
和拓展,从而加工为一道立意高、情境新、设问巧、有较强的时代气息、贴近学生实际的
试题.
“正态分布〞①利用给出的标准正态分布表或题设条件中的概
率,求在某个范围内取值时的概率;②利用正态分布密度曲线,根据密度曲线的性质,
求在某个范围内取值时的概率.
押猜题20
袋子A和B中分别装有假设干个质地均匀大小相同的红球和白球,从A中摸出一个球,得
1
到红球的概率是3,从B中摸出一个球,得到红球的概率为p.
〔1〕假设A、B两个袋子中的球数之比为1:3,将A、B中的球混装在一起后,从中摸出
3
一个球,得到红球的概率是4,求p的值;
〔2〕从A中有放回地摸球,每次摸出一个,假设累计35次摸到红球即停止,最多摸球
次,55355次〕摸次之内〔含次之内〔含次〕不管是否有次摸到红球都停止摸球,记
到红球的次数为随机变量,求随机变量的分布列及数学期望.
解析1〕〔A、B两个袋子中的球数之比为1:3,∴设袋子A中有m个球,那么袋子B
1
中有3mA中摸出一个红球的概率是3,从B中摸出一个红球的概率为p,∴袋子A中有
1
m
3个红球,袋子B中有3mp个红球.A、B中的球混装在一起后,共有红球
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高考数学高频考点1集合与简易逻辑
1
m3mp
1338
m3mp,解得p
3个,∴4m49.
〔2〕随机变量的取值为0,1,2,3.
01532
P(0)C5(1)
那么3243;
111480
P(1)C5(1)
33243;
2121380
P(2)C5()(1)
33243;
313102121121212117
P(3)C3()(1)C3()(1)C4()(1)
3333333381.
随机变量的分布列是:
0123
32808017
P
24324324381
32808017131
E0123
的数学期望2432432438181.
点评此题考查概率、期望的相关知识,处理这类题目时要注意三点:①分析要准确,找
出随机变量可能的取值,不能多也不能少;②公式记忆要准确;③计算要准确.
高频考点11统计〔侧重文科〕
从近年高考来看,数学试卷中有关“统计〞的试题有如下特点:
,既表达了数学试题源于生活、趣味性强、时代气息浓
厚、人文特点鲜明的特点,又可以给考生创造一个公平、公正的竞争环境,给更优秀的学
生提供一个展示自我的平台,这些题目都源于生活,对考生具有亲和力.
.“统计〞
,对其中的根底知识重新组合、变式和拓
展,从而加工为一道立意高、情境新、设问巧、有较强的时代气息、贴近学生实际的试
题.
“抽样方法〞
押猜题21
经问卷调查,某班学生对摄影分别执“““喜欢〞、不喜欢〞和一般〞三种态度,其中执
““12一般〞态度的比不喜欢〞态度的多人,按分层抽样方法从全班选出局部学生座谈摄
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高考数学高频考点1集合与简易逻辑
影,如果选出的有5“1“3“一般喜欢〞摄影的同学、不喜欢〞摄影的同学和位位位执
〞态度的同学,那么全班学生中“喜欢〞摄影的比全班人数的一半还多________人.
解析“喜欢〞的有设班里学生对摄影y人,“一般〞的有x人,“不喜欢〞的有(x12)
x121y5
,,
人,那么x3x18,又183y30.
54
303
全班共有学生3018654(人),又2(人).
“喜欢〞
点评“.此类问题是高考文科数学抽样比〞是关键此题考查分层抽样中的有关计算,抓住
经常涉及的考点,不容无视.
高考数学高频考点12、极限
“——归纳——猜测——证明〞的思维模式解答,属于中高档题,甚至可能以压轴题观察
的形式考查.
极限包括数列极限和函数极限两类,是近年高考的常考点,多考查““极限极限的求法〞、
值,逆求参数值或范围〞、““函数连续性与数列极限结函数连续性问题〔函数极限〕〞、
合问题〞等,可能以选择题、填空题的形式出现,偶尔以解答题某一小问的形式出现,一
般属于中低档题.
押猜题21
2
(1i)i(x0)
f(x)
ia2cosx(x0)a