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(整理版)第二十八章锐角三角函数
第二十八章锐角三角函数
本章小结
小结1本章概述
锐角三角函数、解直角三角形,它们既是相似三角形及函数的继续,
识首先从工作和生活中经常遇到的问题人手,研究直角三角形的边角关系、锐角三角函数等知识,进而学****解
直角三角形,,才能继续学****任
意角的三角函数和解斜三角形等知识,同时解直角三角形的知识有利于培养数形结合思想,应牢固掌握.
小结2本章学****重难点
【本章重点】(sin通过实例认识直角三角形的边角关系,即锐角三角函数A,cosA,tanA),知道30
°,45°,60°角的三角函数值,会运用三角函数知识解决与直角三角形有关的简单的实际问题.
【本章难点】综合运用直角三角形的边边关系、边角关系来解决实际问题.
【学****本章应注意的问题】
在本章的学****中,应正确掌握四种三角函数的定义,熟记特殊角的三角函数值,要善于运用方程思想求直
角三角形的某些未知元素,会运用转化思想通过添加辅助线把不规那么的图形转化为规那么的图形来求解,会
用数学建模思想和转化思想把一些实际问题转化为数学模型,从而提高分析问题和解决问题的能力.
小结3中考***
这一章在中考中主要考查一些特殊角的三角函数值及几个三角函数间的关系,主要题型是选择题、填空
,主要题型是填空题和解答题,约占3~7分.
知识网络结构图
直角三角形中锐角三解直角
实际问题
的边角关系角函数三角形
专题总结及应用
一、知识性专题
专题1:锐角三角函数的定义
【专题解读】锐角三角函数定义的考查多以选择题、填空题为主.
例128-123Rt△如图所示,在ABC中,∠ACB=90°,BC=1,AB=2,那么以下结论
正确的选项是()
31
==
22
3
==3
2
BC1BC3BC1
分析sinA==,tanA==,cosB==.应选D.
AB2AC3AB2
3
例2在△ABC中,∠C=90°,cosA=,那么tanA等于()
5
3434
.
5543
BC4k4
分析在Rt△ABC中,设AC=3k,AB=5k,那么BC=4k,由定义可知tanA=.应选D.
AC3k3
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2222BC33
分析在Rt△ABC中,BC=ABAC54=3,∴sinA=.故填.
AB55
专题2特殊角的三角函数值
【专题解读】要熟记特殊角的三角函数值.
例4计算|-3|+2cos45°-(3-1)0.
2
分析cos45°=.
2
2
解:原式=3+2×-1=2+2.
2
1
例5计算-+9+(-1)-cos60°.
2
1
分析cos60°=.
2
11
解:原式=+3+(-1)-=3-1=2.
22
例6计算|-2|+(cos60°-tan30°)0+8.
130
分析cos60°=,tan30°=,∴cos60°-tan30°≠0,∴(cos60°-tan30°)=1,
23
解:原式=2+12十+2=32+1.
3
101
例7计算-(π-)-|1-tan60°|-.
232
分析tan60°=3.
解:原式=8-1-3+1+3+2=10.
专题3锐角三角函数与相关知识的综合运用
【专题解读】锐角三角函数常与其他知识综合起来运用,考查综合运用知识解决问题的能力.
例828-124如图所示,在△ABC中,AD是BC边上的高,E为AC边的中点,BC=14,AD=12,sinB=
4
.
5
(1)求线段DC的长;
(2)求tan∠EDC的值.
AD斜
分析Rt△在ABD中,由sinB=,可求得BD,
AB边
1
上的中线等于斜边的一半,得DE=AC=EC,那么∠EDC=∠C,所以求tan∠EDC可以转化为求tanC.
2
解:(1)∵AD是BC边上的高,∴AD⊥BC
AD
在Rt△ABD中,sinB=.
AB
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4
∵AD=12,sinB=,∴AB=15,
5
∴BD=AB2AD2=152122=9.
∵BC=14,∴CD=5.
1
(2)在Rt△ADC中,∵AE=EC,∴DE=AC=EC,
2
∴∠EDC=∠C
AD1212
∵tanC==,∴tan∠EDC=tanC=.
DC55
例9如图28-125所示,在△ABC中,AD是BC边上的高,tanB=cos∠DAC.
(1)求证AC=BD;
12
(2)假设sinC=,BC=12,求AD的长.
13
分析(1)利用锐角三角函数的定义可得AC=BD.(2)利用锐角三角函数与勾股定理可求
得AD的长.
证明:(1)∵AD是BC边上的高,∴AD⊥BC,
∴∠ADB=90°,∠ADC=90°.
在Rt△ABD和Rt△ADC中,
ADAD
∵tanB=,cos∠DAC=,tanB=cos∠DAC,
BDAC
ADAD
∴=,∴AC=BD.
BDAC
12
解:(2)在Rt△ADC中,sinC=,设AD=12k,AC=13k,
13
∴CD=AC2AD2=5k.
∵BC=BD+CD,AC=BD,
∴BC=13k+5k=18k.
2
由BC=12,∴18k=12,k=,
3
2
∴AD=12k=12×=8.
3
例1028-126如图所示,在△ABC中,∠B=45°,∠C=30°,BC=30+303,求
AB的长.
分析过点A作AD⊥BC于D,把斜三角形转化为直角三角形,利用AD是两个直角三角
形的公共边,设AD=x,把BD,DC用含x的式子表示出来,再由BD+CD=BC这一等量关系
列方程,求得AD,那么AB可在Rt△ABD中求得.
解:过点A作AD⊥BC于D,设AD=x.
ADADAD
在Rt△ADB中,tanB=,∴BD==x,
BDtanBtan45
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ADADAD
在Rt△ADC中,tanC=,∴CD===3x.
CDtanCtan30
又∵BD+CD=BC,BC=30+303,
∴x+3x=30+303,∴x=30.
AD
在Rt△ABD中,sinB=,
AB
AD3030
∴AB===302.
sinBsin452
2
专题4用锐角三角函数解决实际问题
【专题解读】
例1128-127如图所示,小山上有一棵树,现有一测角仪和皮尺两种测量工具,请你设
计一种测量方案,在山脚的水平地面上测出小树顶端A到水平地面上的距离AB.
(1)画出测量示意图;
(2)写出测量步骤(测量数据用字母表示);
(3)根据(2)中的数据计算AB.
解:(1)测量示意图如图28—128所示.
(2)测量步骤.
第一步:在地面上选择点C安装测角仪,测得此时小树顶端A的仰角∠AHE=α.
第二步:沿CB方向前进到点D,用皮尺量出C,D之间的距离
CD=m.
第三步:在点D安装测角仪,测得此时小树顶端A的仰角
∠AFE=β.
第四步:用皮尺测出测角仪的高h.
xx
(3)令AE=x,那么tanα=,得HE=.
HEtan
xx
又tanβ=,得EF=,
EFtan
∵HE-FE=HF=CD=m,
xxmgtangtan
∴=m,解得x=.
tantantantan
mgtangtan
∴AB=+h.
tantan
例1228-129如图所示,一条小船从港口A出发,沿北偏东40°20方向航行海里后到
达B处,然后又沿北偏西30°10方向航行海里后到达C处,那么此时小船距港口A多少海
里?(结果保存整数,提示:sin40°≈,cos40°≈,tan40°≈,3≈)
分析此题可作CD⊥AP构造直角三角形求AC,而CD,AD的长可转移到其他三角形中解决
,可作BE⊥AD,CF⊥BE,CF,BF在Rt△BCF中可求,进而求解.
解:如图28-130所示,过点B作BE⊥AP,垂足为点E,过点C分别作CD⊥AP,CF⊥
BE,垂足分别为点D,F,那么四边形CDEF为矩形,
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∴CD=EF,DE=CF.
∵∠QBC=30°,∴∠CBF=60°.
∵AB=20,∠BAD=40°,
∴AE=AB·cos40°≈20×≈,
BE=AB·sin40°≈20×=≈.
又∵BC=10,∠CBF=60°,
3
∴CF=BC·sin60°≈10×=53≈,
2
BF=BC·cos60°=10×=5,
∴CD=EF=BE-BF≈-5=.
∵DE=CF≈,∴AD=DE+AE≈+=,
由勾股定理得AC=AD2CD2≈=≈25,
即此时小船距港口A约25海里.
【解题策略】正确理解方位角,作出恰当的辅助线构造直角三角形是解此题的关键.
例1328-131如图A处观测到对岸C点,测得∠CAD=45°,又在距A处60米远的B处
测得∠CBA=30°,请你根据这些数据算出河宽是多少?(结果保存小数点后两位)
分析此题可作CE⊥AB,垂足为E,求出CE的长即为河宽.
解:如图28-131所示,过点C作CE⊥AB于E,那么CE即为河宽,
设CE=x(米),那么BE=x+60(米).
CE3x
在Rt△BCE中,tan30°=,即=,
EB3x60
解得x=30(3+1)≈(米).
答:.
【解题策略】解此题的关键是设CE=x,然后根据BE=AB+AE列方程求解.
例1428-132如图所示,某边防巡逻队在一个海滨浴场岸边的A点处发现海中的B点
有人求救,;2号救生员沿岸
边(岸边可以看成是直线)向前跑到C点再跳入海中;3300米到离号救生员沿岸边向前跑B点
最近的D点,再跳入海中,救生员在岸上跑的速度都是62米米/秒,在水中游泳的速度都是
/∠BAD=45°,∠BCD=60°,三名救生员同时从A点出发,请说明谁先到达营救地
点B.(参考数据2≈,3≈)
分析Rt△在ABD中,∠A=45°和AD,可求AB,BD,在Rt△BCD中,可利用求出的BD和∠BCD=60°求
出BC,然后根据计算出的数据判断谁先到达.
解:在Rt△ABD中,∠A=45°,∠D=90°,AD=300,
AD300
∴AB==3002.
cos452
2
BD
=tan45°,即BD=AD·tan45°=300.
AD
在Rt△BCD中,∠BCD=60°,∠D=90°,
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BD300BD300
∴BC==2003,CD===1003.
sin603tan603
2
3002
1号救生员到达B点所用的时间为=1502≈210(秒),
2
300100320032503
2号救生员到达B点所用的时间为=50+≈192(秒),
623
300300
3号救生员到达B点所用的时间为+=200(秒).
62
∵192<200<210.∴2号求生员先到达营救地点B.
【解题策略】此题为阅读理解题,题目中的数据比拟多,正确分析题意是解题的关键.
例1528-13324/时的速度将一批重要物资从如图海里所示,某货船以A处运往正东方
向的M处,在点A处测得某岛C在它的北偏东60°30方向上,该货船航行分钟后到达B处,
此时再测得该岛在它的北偏东30°方向上;在C岛周围9海里的区域内有暗礁,假设货船继续
向正东方向航行,该货船有无触礁危险?试说明理由.
分析此题可作CD⊥AM于点D,在Rt△BCD中求出CD即可.
解:过点C作CD⊥AM,垂足为点D,
由题意得∠CBD=60°,∠CAB=30°,
∴∠ACB=30°,∠CAB=∠ACB,
1
∴BC=AB=24×=12(海里).
2
在Rt△BCD中,CD=BC×sin60°=63(海里).
∵63>9,∴货船继续向正东方向航行无触礁危险.
【解题策略】此题实际上是通过⊙C(半径为9)与直线海里AM相离判断出无触礁危险.
例1628-134如图所示,某幢大楼顶部有一块广告牌CD,甲、乙两人分别在相距8米
的A,B两处测得D点和C点的仰角分别为45°60°和,且A,B,F三点在一条直线上,
假设BE=15(米,≈,结果保存整数)
分析由于CD=CE-DE,所以可分别在Rt△AED和Rt△BEC中求DE,CE的长,从而得出
结论.
解:∵AB=8,BE=15,∴AE=23.
在Rt△AED中,∠DAE=45°,∴DE=AE=23.
在Rt△BEC中,∠CBE=60°,∴CE=BE·tan60°=153,
∴CD=CE-DE=153-23≈3,
即这块广告牌的高度约为3米.
例1728-135如图所示,某水库大坝的横断面是梯形,坝顶宽AD=,坝高4m,背水
坡的坡度是1:1,迎水坡的坡度是1:,求坝底宽BC.
分析坡度即坡角的正切值,所以分别过A,D两点向坝底引垂线,把梯形转化为两个直
角三角形和一个矩形.
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解:过A作AE⊥BC于E,过D作DF⊥BC于F,
1
由题意可知tanB=1,tanC=,
AE
在Rt△ABE中,AE=4,tanB==1,∴BE=AE=4,
BE
DF1
在Rt△DFC中,DF=AE=4,tanC=,
∴CF==×4=6.
又∵EF=AD=,
∴BC=BE+EF+FC=4++6=.
答:.
【解题策略】背水坡是指AB,而迎水坡是指CD.
例1828-136如图所示,山顶建有一座铁塔,塔高CD=30m,某人在点A处测得
塔底C的仰角为20°,塔顶D的仰角为23°,求此人距CD的水平距离AB.(参考数
≈,≈,°≈据:sin20°cos20°tan20°sin23°cos23°)
分析要求AB的值,由于两个直角三角形中都只有角的条件,不能直接求解,所
以设AB为未知量,即用AB表示BD和BC,根据BD-BC=CD=30,列出关于AB的方
程.
解:在Rt△ABC中,∠CAB=20°,
∴BC=ABtan∠CAB=ABtan20°.
在Rt△ABD中,∠DAB=23°,
∴BD=ABtan∠DAB=ABtan23°.
∴CD=BD-BC=ABtan23°-ABtan20°=AB(tan23°-tan20°).
CD30
∴AB=≈=500(m).
tan23tan20
答:此人距CD的水平距离AB约为500m.
二、规律方法专题
专题5公式法
【专题解读】本章的公式很多,熟练掌握公式是解决问题的关键.
1sin2
例19当0°<α<90°时,求的值.
cos
分析由sin2α+cos2α=1,可得1-sin2α=cos2α
解:∵sin2α+cos2α=1,∴cos2α=1-sin2α.
1sin2cos2|cos|
∴.
coscoscos
∵0°<a<90°,∴cosα>0.
cos
∴原式==1.
cos
【解题策略】sin以上解法中,应用了关系式2α+cos2α=1(0°<α<90°),这一关系式在解题中经
常用到,应当牢记,并灵活运用.
三、思想方法专题
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专题6类比思想
【专题解读】求方程中未知数的过程叫做解方程,求直角三角形中未知元素的过程叫做解直角三角形,因
(组)一样求直角三角形中的未知元
素.
515
例20Rt△在ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,a=,b=,解这个直
22
角三角形.
22a
分析两直角边长a,b,可由勾股定理c=ab求出c,再利用sinA=求出∠A,进而求出∠B=90
c
°-∠A.
解:∵∠C=90°,∴a2+b2=c2.
2252152
∴c=ab((+((5.
22
5
a21
又∵sinA=,∴∠A=30°.
c52
∴∠B=90°-∠A=60°.
【解题策略】除直角外,求出Rt△ABC中的所有未知元素就是解直角三角形.
专题7数形结合思想
【专题解读】由““““数〞思形〞想形〞,由数〞,两者巧妙结合,起到互通、互译的作用,是解决几
何问题常用的方法之一.
33
例21如图28-137所示,∠α的终边OP⊥AB,直线AB的方程为y=-x+,那么
33
cosα等于()
12
.
22
33
.
23
3333
分析∵y=-x+,∴当x=0时,y=,当y=0时,x=1,∴A(1,0),B0,,∴OB=
3333
32223OB1
,OA=1,∴AB=OBOA=,∴cos∠OBA=.∴OP⊥AB,∴∠α+∠OAB=90°,又∵∠
33AB2
1
OBA+∠OAB=90°,∴∠α=∠OBA.∴cosα=cos∠OBA=.应选A.
2
专题8分类讨论思想
【专题解读】当结果不能确定,且有多种情况时,对每一种可能的情况都要进行讨论.
例22一条东西走向的高速公路上有两个加油站A,B,在A的北偏东45°方向上还有一个加油站C,C到
高速公路的最短距离是30km,B,,使两路交
叉口P到B,C的距离相等,求交叉口P与加油站A的距离.(结果可保存根号)
解:①如图28-138(1)所示,
在Rt△BDC中,∵CD=30,CB=60,∴∠B=30°.
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又PC=PB,∴∠CPD=60°,∴DP=103.
故AP=AD+DP=(30+103)km.
②同理,如图28-138(2)所示,可求得AP=(30-103)km,
故交叉口P与加油站A的距离为(30+103)km(30-10或3)km.
【解题策略】此题针对P点的位置分两种情况进行讨论,即点P在线段AB上或点P在线段BA的延长线
上.
专题9转化思想
【专题解读】本章中的转化思想主要应用在把直角三角形的线段比转化为三角函数值、把实际问题转化
为数学问题、把斜三角形问题转化为直角三角形问题等.
例2328-139如图所示,某校教学楼的后面紧邻着一个土坡,坡上面是一块平地,BC∥AD,斜坡AB的
长为22m,坡角∠BAD=68°50°时,可确保山体不滑坡.
(1)求改造前坡顶与地面的距离;
(2)A不动,坡顶B沿BC改到F点处,那么BF结果保存小数点后一位,参考数据:至少是多少米?(sin68°
°≈,≈,cos68tan68°≈,sin50°≈,cos50°≈,tan50°≈)
分析将实际问题转化为数学问题是解题关键.
解:(1)过B作BE⊥AD于E,
BE
那么在Rt△ABE中,sin∠BAE=,
AB
∴BE=AB·sin68°=22sin68°≈(m).
(2)过F作FG⊥AD于G,连接FA,那么FG=BE.
FG
∵AG=≈,AE=AB·cos68°=22cos68°≈,
tan50
∴BF=GE=AG-AE≈≈(m).
例2428-140如图所示,A,
高速公路(即线段AB),经测量,森林保护中心P在A城市的北偏东30°和B城市的北偏西45°
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林保护区的范围在以P点为圆心,
?(参考数据:3≈,2≈)
解:过点P作PC⊥AB,C是垂足,
那么∠APC=30°,∠BPC=45°,
AC=PC·tan30°,BC=PC·tan45°,
∵AC+BC=AB,
∴PC·tan30°+PC·tan45°=100,
3
∴(+1)PC=100,
3
∴PC=50(3-3)≈50×(3-)≈>50.
答:森林保护区的中心与直线AB的距离大于保护区的半径,所以方案修筑的这条高速公路不会穿越保护
区.
例25“28-141如图小鹃学完解直角三角形知识后,给同桌小艳出了一道题:所示,把一张长方形卡片
ABCD放在每格宽度为12mm的横格纸中,=36°,求长方形卡片的周长.〞请
你帮小艳解答这道题.(结果保存整数;参考数据:sin36°≈,cos36°≈,tan36°≈)
解:作BE⊥l于点E,DF⊥l于点F.
∵α+∠DAF=180°-∠BAD=180°-90°=90°,
∠ADF+∠DAF=90°,
∴∠ADF=α=36°.
根据题意,得BE=24mm,DF=48mm.
BE
在Rt△ABE中,sinα=,
AB
BE24
∴AB=≈=40(mm).
sin36
DF
在Rt△ADF中,cos∠ADF=,
AD
DF48
∴AD=≈=60(mm).
cos36
∴矩形ABCD的周长=2(40+60)=200(mm).
例2628-142I20如图高所示,某居民楼米,
台离地面距离CM为2米,
建一居民楼Ⅱ.当正午时刻太阳光线与地面成30°I楼角时,要使Ⅱ楼的影子不影响
所有住户的采光,新建Ⅱ楼最高只能盖多少米?
解:设正午时光线正好照在I楼的一楼窗台处,此时新建居民楼
Ⅱ高x米.
过C作CF⊥l于F,
在Rt△ECF中,EF=(x-2)米,FC=30米,∠ECF=30°,
x2
∴tan30°=,∴=103+2.
30
答:新建居民楼Ⅱ最高只能建(103+2)米.
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中考真题精选
一、选择题
1.〔江苏连云港,14,3分〕如图,△ABC的顶点都在方格纸的格点上,那么sinA=_______.
考点:锐角三角函数的定义;勾股定理。
专题:网格型。
分析:1,过CCD⊥AB,垂足为D,在Rt△ACDAC设小方格的长度为作的长,然后根据中,利用勾股定理求出
锐角三角函数的定义求出sinA.
解答:解:过CCD⊥AB,垂足为D,设小方格的长度为1,作
22
在Rt△ACDAC=中,ADCD=25.∴sinA==,
故答案为.
点评:此题主要考查锐角三角函数的定义和勾股定理的知识点,此题比拟简单,构造一个直角三角形是解答此
题的关键.
,3ABCDE、FAB、ADEF=2,BC=5,CD=3,那〔江苏苏州,中,分別是的中点,假设分〕如图,在四边形
么tanC等于〔 〕
3434
考点:锐角三角函数的定义;勾股定理的逆定理;三角形中位线定理.
专题:几何图形问题.
分析:根据三角形的中位线定理即可求得BDBCD是直角三角形,的长,然后根据勾股定理的逆定理即可证得△
然后根据正切函数的定义即可求解.
解答:解:连接BD.
∵E、FAB、AD分別是的中点.
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∴BD=2EF=4
∵BC=5,CD=3
∴△BCD是直角三角形.
4
∴tanC=3
应选B.
点评:此题主要考查了三角形的中位线定义,勾股定理的逆定理,和三角函数的定义,正确证明△BCD是直角
三角形是解题关键.
,2Rt△〔江苏镇江常州,分〕如图,在ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,=5,BC=2,
那么sin∠ACD的值为〔 〕
525
.
35
52
.
23
考点:锐角三角函数的定义;勾股定理.
专题:应用题.
分析:在直角△ABC中,根据勾股定理即可求得AB,而∠B=∠ACD,即可把求sin∠ACD转化为求sinB.
解答:在直角△ABC中,根据勾股定理可得:AB=AC2BC2=(5)222=3.
∵∠B+∠BCD=90°,∠ACD+∠BCD=90°,
∴∠B=∠ACD.
AC5
∴sin∠ACD=sin∠B==,
AB3
应选A.
点评:此题考查了解直角三角形中三角函数的应用,要熟练掌握好边角之间的关系,难度适中.
b
〔山东日照,,4Rt△ABCC=90°,把∠AAcotA=分〕在中,∠的邻边与对边的比叫做∠的余切,记作
a
.那么以下关系式中不成立的是〔 〕
•cotA==tanA•=cotA•+cot2A=1
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(整理版)第二十八章锐角三角函数
考点:同角三角函数的关系。
专题:计算题。
可根据同角三角函数的关系:平方关系;正余弦与正切之间的关系〔积的关系〕;正切之间的关系进行解分析:
答.
解答:解:根据锐角三角函数的定义,得
ab
A、tanA•cotA==1,关系式成立;
ba
aaba
B、sinA=,tanA•cosA=,关系式成立;
cbcc
abb
C、cosA=,cotA•sinA=,关系式成立;
cac
22a2b2
D、tanA+cotA=〔〕+〔〕≠1,关系式不成立.
ba
应选D.
此题考查了同角三角函数的关系.〔点评:1〕平方关系:sin2A+cos2A=12〕正余弦与正切之间的关系〔积的〔
sinA
关系〕:一个角的正切值等于这个角的正弦与余弦的比,即tanA=或sinA=tanA•cosA.
cosB
〔3〕正切之间的关系:tanA