第十一章第4节.doc

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最新考纲 ;;;;、减运算的几何意义.
知识梳理

内容
意义
备注
复数的概念
形如a+bi(a∈R,b∈R)的数叫复数,其中实部为a,虚部为b
若b=0,则a+bi为实数;若a=0且b≠0,则a+bi为纯虚数
复数相等
a+bi=c+di⇔a=c且b=d(a,b,c,d∈R)
共轭复数
a+bi与c+di共轭⇔a=c且b=-d(a,b,c,d∈R)
复平面
建立平面直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面,x轴叫实轴,y轴叫虚轴
实轴上的点都表示实数;除了原点外,虚轴上的点都表示纯虚数,各象限内的点都表示虚数
复数的模
设对应的复数为z=a+b
|z|=|a+bi|=
i,则向量的长度叫做复数z=a+bi的模
复数集C和复平面内所有的点组成的集合是一一对应的,复数集C与复平面内所有以原点O为起点的向量组成的集合也是一一对应的,即
(1)复数z=a+bi复平面内的点Z(a,b)(a,b∈R).
(2)复数z=a+bi(a,b∈R)平面向量.

设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),则
(1)加法:z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i;
(2)减法:z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i;
(3)乘法:z1·z2=(a+bi)·(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i;
(4)除法:==
=(c+di≠0).
[常用结论与微点提醒]
=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i,i4n+i4n+1+i4n+2+i4n+3=0,n∈N*.
2.(1±i)2=±2i;=i;=-i.
诊断自测
(在括号内打“√”或“×”)
(1)复数z=a+bi(a,b∈R)中,虚部为bi.( )
(2)复数中有相等复数的概念,因此复数可以比较大小.( )
(3)原点是实轴与虚轴的交点.( )
(4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离,也就是复数对应的向量的模.( )
解析 (1)虚部为b;(2)虚数不可以比较大小.
答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√
2.(2019·全国Ⅰ卷)设(1+2i)(a+i)的实部与虚部相等,其中a为实数,则a=( )
A.-3B.-
解析 因为(1+2i)(a+i)=a-2+(2a+1)i,所以a-2=2a+1,解得a=-3.
答案 A
3.(2019·全国Ⅲ卷)复平面内表示复数z=i(-2+i)的点位于( )

解析 由题意,得z=-1-2i,其在复平面内所对应的点位于第三象限.
答案 C
4.(2019·江苏卷)已知复数z=(1+i)(1+2i),其中i是虚数单位,则z的模是________.
解析 z=(1+i)(1+2i)=-1+3i,所以|z|==.
答案
5.(选修1-2P63B1改编)已知(1+2i)=4+3i,则z=________.
解析 ∵====2-i,
∴z=2+i.
答案 2+i
考点一 复数的有关概念
【例1】(1)(2019·全国Ⅰ卷)下列各式的运算结果为纯虚数的是( )
(1+i)(1-i)
C.(1+i)(1+i)
(2)(2019·全国Ⅲ卷)设复数z满足(1+i)z=2i,则|z|=( )

(3)若(1+i)+(2-3i)=a+bi(a,b∈R,i是虚数单位),则a,b的值分别等于( )
,-,,-3D.-1,4
解析 (1)由(1+i)2=2i为纯虚数知选C.
(2)z====i+1,则|z|==.
(3)(1+i)+(2-3i)=3-2i=a+bi,所以a=3,b=-2.
答案 (1)C (2)C (3)A
规律方法 ,只需把复数化为代数形式,列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可.
+bi(a,b∈R)的形式,以确定实部和虚部
.
【训练1】(1)(2019·广东名校联考)已知z=(i为虚数单位),则z的共轭复数的虚部为( )
A.-.-
(2)(2019·全国Ⅰ卷)设有下面四个命题
p1:若复数z满足∈R,则z∈R;
p2:若复数z满足z2∈R,则z∈R;
p3:若复数z1,z2满足z1z2∈R,则z1=2;
p4:若复数z∈R,则∈R.
其中的真命题为( )
,,,,p4
解析 (1)∵z===-i,则=i,则的虚部为1.
(2)p1:设z=a+bi(a,b∈R),则==∈R,得到b=0,所以z∈R,故p1正确;
p2:若z2=-1,满足z2∈R,而z=±i,不满足z∈R,故p2不正确;
p3:若z1=1,z2=2,则z1z2=2,满足z1z2∈R,而它们实部不相等,不是共轭复数,故p3不正确;
p4:因复数z∈R,所以z的虚部为0,所以它的共轭复数是它本身,也属于实数,故p4正确.
答案 (1)D (2)B
考点二 复数的几何意义
【例2】(1)复数z=i(1+i)在复平面内所对应点的坐标为( )
A.(1,1)B.(-1,-1)
C.(1,-1)D.(-1,1)
(2)(2019·北京卷)若复数(1-i)(a+i)在复平面内对应的点在第二象限,则实数a的取值范围是( )
A.(-∞,1)B.(-∞,-1)
C.(1,+∞)D.(-1,+∞)
解析 (1)因为z=i(1+i)=-1+i,故复数z=i(1+i)在复平面内所对应点的坐标为(-1,1).
(2)(1-i)(a+i)=a+1+(1-a)i的对应点在第二象限,则∴a<-1.
答案 (1)D (2)B
z=a+bi(a,b∈R)Z(a,b)=(a,b).
、点、向量之间建立了一一对应的关系,因此可把复数、向量与解析几何联系在一起,解题时可运用数形结合的方法,使问题的解决更加直观.
【训练2】(1)若i为虚数单位,图中复平面内点Z表示复数z,则表示复数的点是( )

(2)(2019·北京卷)设a∈R,若复数(1+i)(a+i)在复平面内对应的点位于实轴上,则a=________.
解析 (1)由题图知复数z=3+i,
∴====2-i.
∴表示复数的点为H.
(2)(1+i)(a+i)=(a-1)+(a+1)i,由已知得a+1=0,解得a=-1.
答案 (1)D (2)-1
考点三 复数的运算
【例3】(1)(2019·全国Ⅱ卷)=( )
+-+-i
(2)i为虚数单位,i607的共轭复数为( )
.-.-1
(3)(2019·全国Ⅱ卷)(1+i)(2+i)=( )
-+++3i
解析 (1)==2-i.
(2)因为i607=(i2)303·i=-i,-i的共轭复数为i.
(3)由题意(1+i)(2+i)=2+3i+i2=1+3i.
答案 (1)D (2)A (3)B
规律方法 复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式运算,除法关键是分子分母同乘以分母的共轭复数,注意要把i的幂写成最简形式
.
【训练3】(1)(2019·山东卷)已知a∈R,=a+i,z·=4,则a=( )
--
C.-D.
(2)+=________.
解析 (1)由已知得(a+i)(a-i)=4,∴a2+3=4,解得a=±1.
(2)原式=+
=i6+=-1+i.
答案 (1)A (2)-1+i
基础巩固题组
(建议用时:25分钟)
一、选择题
1.(2019·四川卷)设i为虚数单位,则复数(1+i)2=( )
+2i
解析 (1+i)2=1+2i+i2=2i.
答案 C
2.(2019·合肥质检)已知i为虚数单位,则=( )
.
解析 ==.
答案 D
3.(2019·山西康杰中学、临汾一中等五校联考)设复数z=-2+i,则复数z+的虚部为( )

解析 z+=-2+i+=-2-+i=-+i.
答案 A
4.(2019·石家庄质检)在复平面中,复数对应的点在( )


解析 因为====-i,复数对应的点为,在第四象限.
答案 D
5.(2019·山东卷)已知i是虚数单位,若复数z满足zi=1+i,则z2=( )
A.-.-
解析 由zi=1+i,得z==1-i,
∴z2=(1-i)2=-2i.
答案 A
6.(2019·山西四校联考)i是虚数单位,若=a+bi(a,b∈R),则lg(a+b)的值是( )
A.-2B.-.
解析 ∵==-i=a+bi,
∴∴lg(a+b)=lg1=0.
答案 C
7.(2019·北京东城综合测试)若复数(m2-m)+mi为纯虚数,则实数m的值为( )
A.-
解析 因为复数(m2-m)+mi为纯虚数,所以解得m=1.
答案 C
8.(2019·全国Ⅰ卷)设(1+i)x=1+yi,其中x,y是实数,则|x+yi|=( )

解析 由(1+i)x=1+yi,得x+xi=1+yi⇒⇒所以|x+yi|==.
答案 B