99年 上海交大 高等代数.doc

文档介绍：上海交通大学
1999年硕士研究生入学考试试题
试卷名称:高等代数
1.(10分)设P为数域。令;。证明:若与互素,则与也必互素。
2.(10分)设J为元素全为1的阶方阵。
求J的特征多项式与最小多项式;
设为复数域上多项式。证明必相似于对角阵。
3.(10分)
设n阶实对称矩阵,其中且,求A的n个特征值。
设A为复数域上n阶方阵。若A的特征根全为零,证明:。此处E为n阶单位阵。
4(10分)设是数域F上的二次多项式,在F内有互异的根,设A是F上线性空间L的一个线性变换且,(I为单位变换)且满足,证明为A的特征值;且L可以分解为A的属于的特征子空间的直和。
5(10分)用正交线性变换将下列二次型化为标准形,并给出所施行的正交变换:

6(10分)对的不同取值,讨论下面方程组的可解性并求解:
7(10分)假设A为实矩阵,B为实矩阵,表示A的转置矩阵。证明:
AB=0的充要条件是;
矩阵与矩阵A有相同的秩。
8(10分)设均为n阶矩阵且。证明这p个矩阵的秩之和小于等于
,并举例说明等式可以达到。
9(10分)证明任一可逆实矩阵可分解为一个正定阵和一个正交阵之积。
10(10分)设W为欧氏空间V的一个子空间。证明若对任意,则