文档介绍：定积分的例题分析及解法
本章的基本内容是定积分的概念、计算和应用
一、定积分的概念
其中
因此,定积分是一个数,它依赖于被积函数和积分区间〔a,b〕
定积分与积分变量用什么字母无关:
定积分的几何意义是曲边梯形的面积(当被积函数时)。
(1)线性性质
(2)
(3)
(4)若则
(5)积分中值定理:设在〔a,b〕上连续,则在〔a,b〕上至少存在一点,使下式成立
其中。
(6)估值定理:若在〔a,b〕上可积,且,则有不等式
(7)若函数在〔a,b〕上连续,则有
。
二、定积分的计算
—莱布尼茨公式:
:注意,在换元的同时不要忘记换积分限
:
:梯形,抛物线法。
三、定积分的应用
基本方法是:(1)代公式;(2)微元法
(1)直角坐标系。注意选择合适的积分变量或可使计算简化
(2)参数方程
(3)极坐标系
:变速直线运动的路程(已知速度函数,变力作功,引力,液体侧压力。
注:定积分的几何应用可直接代公式,要求记住面积、体积和弧长的公式,定积分的物理应用强调用微元法,解题的一般步骤是:
(1)建立坐标系;
(2)取典型微段;
(3)写出微元表示式;
(4)写出所求量的定积分表达式,并进行计算。
一、疑难解析
在这一章中,我们接触到了微积分学中的又一个重要的基本概念:定积分,与前面所学过的函数在某点连续或可导等概念相比,定积分的概念显得要复杂些,定积分反映的是函数在一个区间上的整体性质,当然定积分的概念也是利用极限的概念来建立的,这与连续、可导的概念相类似,但它是另一种形式的极限,因此它的很多性质可以由极限的性质而得来,另一方面需要特别指出的是,与前一章不定积分的概念相比,这两者只一定之差,却有着本质的不同,前者讨论的是函数的原函数,而后者是一个和式的极限。这一点在学****过程不要使之相混淆。当然,微积分基本定理(即牛顿—莱布尼茨公式)反映了定积分与不定积分的内在联系,或者说微分学与积分学的内容在联系。
(一)关于定积分的定义
在定积分的定义中,极限
在存在不依赖于对区间的分法,也不依赖于在小区间上的取法,这两点非常重要,不可缺少,换言之,若由于〔a,b〕的分割法不同而使极限
取不同,则在上是不可积的:若上述极限由的取法不同而取不同的值时,在上同样不可积。
函数在上可积的条件与在上连续或可导的条件相比是最弱的条件,即在上有以下关系。
可导连续可积
反之都不一定成立。
定积分是一个数,当被积函数及积分区间给定后,这个数便是确定的了,它除了不依赖于定义中的区间分法和的取法外,也不依赖于符号中的积分变量,即,因此,定积分记号中的积分变量可以用任何字母来表示,此外,对于定积分符号意味着积分变量的变化范围是。
(二)有关定积分的性质
在定积分的性质中,除了类似于不定积分的线性性质以外,还要记住下列基本公式:
定积分关于积分区间的可加性是一个很重要并且在计算定积分时常用的性质,即
当利用牛顿—莱布尼茨公式计算定积分时,若被积函数是分段函数,就需用到这条性质,另外在解定积分的几何应用问题时,也要经常用到这一性质,要注意到在利用这个性质时,点并不一定在内部,可以有,或者,前提是只要被积函数在每个相应的区间上都是可积的。
由于定积分反映的是函数在一个区间上的整体性质,所以不能用它来研究函数的局部性质,例如有两个在上可积的函数和,若
则由定积分的性质知道
反之,当
成立时,却不一定在上恒有例如,设在上有
显然
但我们注意到
奇函数或偶函数在对称区间上的定积分的结论也是很有用的,但要求被积函数是奇函数或偶函数,积分区间的对称区间,不过在解题时可以活用,例如
此函数既非奇函数也非偶函数,然而若设
则是奇函数,是偶函数,且
利用定积分的线性性质及奇偶数在对称区间上的积分结果很容易计算出
(三)关于变上限的定积分
若在上连续,则变上限积分
是上的一个可导函数,自变量是,且
同样可以考虑变下限的定积分,即
显然
有时我们可能还会遇到形式上更一般的变上限积分
同样可以求的导数(在可导的条件下),就是先将看做一个中间变量,再利用复合函数的求导法则求出的导数:
例如求极限
利用洛必达法则有
原式
(四)关于牛顿—莱布尼茨公式
牛顿—莱布尼茨公式不仅在定积分这部分内容中,而且在整个微积分学中都是一个很重要的结论,主要表面在以下方面:
当被积函数连续时定积分的计算可通过求原函数来进行:
若是的一个原函数,则