文档介绍：1行列式的基本理论

定义行列式与矩阵不同,行列式是一个值,它是所有不同行不同列的数的积的和,那些数的乘积符号由他们的逆序数之和有关,逆序数之和为偶数符号为正,逆序数之和为奇数符号为负。这一定义可以写成,这里表示对所有级排列求和.

1、行列式的行列互换,行列式不变;
2、互换行列式中的两行或者两列,行列式反号;
3、行列式中某行乘以一个数等于行列式乘以这个数;
4、行列式的某两行或者某两列成比例,行列式为零;
5、行列式的某一列或者某一行可以看成两列或两行的和时,行列式可拆另两个行列式的和。
6、把一行的倍数加到另一行,行列式不变。
7、行列式有两行(列)相同,则行列式为零。
基本理论
。

3.
4.
,则新的分块行列式与原来相等。

1. 三角行列式
(上三角行列式)
(下三角行列式)
2. 对角行列式

满足,D称为对称行列式
满足,D称为反对称行列式。若阶数n为奇数时,则D=0
4.
2行列式的计算技巧

例1:计算行列式
解:由行列式定义知,且, 所以D的非零项j,只能取2或3,同理由,因而只能取2或3,又因要求各不相同,故项中至少有一个必须取零,所以D=0。

将行列式化为上三角形行列式计算步骤,如果第一行第一个元素为零,首先将第一行(或第一列)与其它任一行(或列)交换,使第一行第一个元素不为零,然后把第一行分别乘以适当数加到其它各行,使第一列除第一个元素外其余元素全为零,再用同样的方法处理除去第一行加第一列余下的低阶行列式依次做下去,直至是它成为上三角形行列式,这时主对角线上元素的乘积就是行列式的值。
例2 计算行列式
解:各行加到第一行中去

例3 计算行列式
解:从倒数第二行(-1)倍加到第n行

除了较简单的行列式(如上、下三角行列式等)可以用定义直接计算,少数几类行列式可利用行列式性质直接计算外,一般行列式计算的主要方法是利用行列式的性质做恒等变形化简,使行列式中出现较多的零元素,然后直接用特殊的行列式的值来计算(如上(下)三角行列式等)或利用按行(列)展开定理降低行列式的阶数。
例4 .
解: 按第1列展开得
.

对于形如的所谓箭型(或爪形)行列式,可以直接利用行列式性质化为三角或次三角形行列式来计算,即利用对角元素或次对角元素将一条边消为零。
例5 计算行列式.
解:

对于形如的所谓三对角行列式,可直接展开得到两项递推关系,然后采用如下的一些方法求解。
方法1 如果n比较小,则直接递推计算
方法2 用第二数学归纳法证明:即验证n=1时结论成立,设时结论也成立,若证明n=k+1时结论也成立,则对任意自然数相应的结论成立
方法3 将变形为,其中, 由韦达定理知p和q是一元二次方程的两个根。确定p和q后,令,则利用递推求出,再由递推求出。
方法4 设,代入得(称之为特征方程),求出其根和(假设),则,这里,可通过n=1和n=2来确定。
例6 计算行列式.
解:
得
同理,得,
所以

范德蒙行列式具有逐行元素递增的特点。因此遇到具有逐行(或列)元素方幂递增或递减的所谓范德蒙型的行列式时,可以考虑将其转化为范德蒙行列式并利用相应的结果求值
例7 计算行列式.
解:把第1行的-1倍加到第2行,把新的第2行的-1倍加到第3行,以此推直到把新的第行的-1倍加到第行,便得范德蒙行列式
.
Hessenberg 型行列式的计算
对于形如,的所谓Hessenberg型行列式,可直接展开得到递推公式,也可利用行列式的性质化简并降阶。
例8 计算行列式
解: 将第1,2··n-1 列加到第n列,得

将行列式的展开定理与行列式性质结合使用,即先利用性质将行列式的某一行(或某一列)化成仅含一个非零元素,然后按此行(列)展开,化成低一阶的行列式,如此继续下去,直到化为三阶或二阶行列式直接计算出结果。