文档介绍：几何精练
折叠问题的处理技巧
考点动向
折叠问题在教材中有所体现,也是立体几何传统的典型问题,符合高考试题源于课本高于课本的基本命题理念,同时,折叠问题既可以考查空间想象能力,也考查学生的动手能力及比较等思维方式,因此,一直是备考与命题的重点.
方法范例
例1(2005·湖南)如图7-1,已知是上、下底边长分别为2和6,高为的等腰梯形,将它沿对称轴折成直二面角.
(Ⅰ)证明:;
(Ⅱ)求二面角的大小.
解析本题是立体几何中有证有求的典型问题,可以不借助向量解答,借助三垂线定理证明直线异面垂直,然后作二面角的平面角,,转化为直线的方向向量及平面法向量的关系问题解答.
解法1 (I)证明: 由题设知,.所以是所折成的直二面角的平面角,即. 故可以为原点,所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系,如图7-2,则相关各点的坐标是,,,.从而,,.所以.
(II)解:因为,所以,由(I),所以平面,,由取,得. 设二面角的大小为,由、的方向可知,>,
.
解法2(I)证明: 由题设知,,所以是所折成的直二面角的平面角,即. 从而平面,是在面
,,所以,,从而,由三垂线定理得.
(II)解由(I),,,过点作于,连结(如图7-3),则是在平面内的射影,,所以,,从而,
又,所以, 即二面角的大小是.
[规律小结]
折叠问题往往描述的也是一个运动变化的过程,因此,首先需要能够想象出折叠的过程,并对折叠前后相应的数量关系和位置关系的变化有十分清楚的认识,特别是那些没有变化的量及位置关系,往往对解题起到关键性的作用.
考点误区分析
解答折叠类问题,最忌没有认识到折叠前后的变化就盲目解答,要加强对比,,在平时训练时,需要对折叠问题涉及的图形进行动手演示观察的,就要亲自动手做一下,直到考试时不用动手也可以想到具体情形.
同步训练
1.(2005·浙江)设是直角梯形两腰的中点,于(如图7-4).现将沿折起,使二面角为,此时点在平面内的射影恰为点,则的连线与所成角的大小等于_________.