量纲分析法建模案例.ppt

文档介绍：三、案例-原子弹爆炸的能量估计
1、问题的提出
1945年7月16日,美国科学家在墨西哥州阿拉莫戈多沙漠进行了“三位一体实验”,试爆了全球第一颗原子弹。人们想了解这次爆炸的威力究竟有多大。英国物理学家Taylor(1886-1975)通过研究爆炸时的录像带,建立数学模型对这次爆炸所释放的能量进行了估计,。这次爆炸所释放的实际能量为21千吨。
那么,Taylor是如何对原子弹爆炸的能量进行估计的呢?
Taylor认为,爆炸的能量与爆炸形成的“蘑菇云”半径大小有关,他根据录影带,测出不同时刻爆炸所产生的“蘑菇云”半径见下表。
表1 时刻t(ms)所对应的“蘑菇云”半径r(m)
t r(t)
t r(t)
t r(t)
t r(t)
t r(t)

























2、建立数学模型
Taylor建立计算爆炸能量的数学模型所采用的是量纲分析法。记爆炸能量为E,将“蘑菇云”半径近似看成一个球形。除时刻t和能量E外, 与“蘑菇云”半径r有关的物理量还可能有“蘑菇云”周围的空气密度(记为)和大气压强P,将要寻求的关系为:
记作更一般的形式
取3个基本量纲:长度L,质量M和时间T,(2)中各个物理量的量纲分别是
由此得到量纲矩阵为
齐次方程 Ay=0的基本解为
根据量纲分析的Bucking-ham Pi定理,由这2个基本解可以得到2个无量纲量
(3)
(4)
(5)
(8)
其中是待定系数,对(8)取对数后用线性最小二乘拟合,根据表1中t和r的数据得到
原子弹爆炸
的能量是

原子弹爆炸能量的实际值21千吨
基本一致