文档介绍：第十章<br****题10-1
1. 指出下列各微分方程的阶数:
(1) x(y′)2-2yy′+x=0; (2) (y″)3+5(y′)4-y5+x6=0;
(3) +2y″+x2y=0; (4) (x2-y2)dx+(x2+y2)dy=0.
解: (1) 因为方程中未知函数y的最高阶导数的阶数为1,故该方程为一阶微分方程.
(2) 二阶.
(3) 三阶.
(4) 一阶.
2. 验证下列给定函数是其对应微分方程的解:
(1) y=(x+C)e-x, y′+y=e-x;
(2) xy=C1ex+C2e-x, xy″+2y′-xy=0;
(3) x=cos2t+C1cos3t+C2sin3t, x″+9x=5cos2t;
(4) =1, xyy″+x(y′)2-yy′=0.
解: (1)
是微分方程的解.
(2) 在方程两边对x求导有上方程两边对x求导有,即即
所以所确定的函数是方程的解.
(3)
所以是微分方程的解.
(4) 方程两边对x求导得

(1)式两边对x求导得

(2)式两边同乘以x得

(3)-(2)得
所以是方程的解.
3. 已知曲线的切线在纵轴上的截距等于切点的横坐标,求这曲线所满足的微分方程.
解: 设是曲线上任一点,则过该点的切线方程为,由已知时,,得即为所满足得微分方程.
4. 求通解为y=Cex+x的微分方程,这里C为任意常数.
解: 由得,而由已知得故通解为的微分方程为.<br****题10-2
:
(1) y′=; (2) xydx+dy=0;
(3) (xy2+x)dx+(y-x2y)dy=0;
(4) sinxcos2ydx+cos2xdy=0;
(5);
(6) yy′+xey=0, y(1)=0;
(7) y′=e2x-y, .
解: (1) 原方程分离变量得,两边积分得
即,
即, ,
记,有, 而当即时,显然是方程的解,上式取时包含了,故方程的解为(c为任意常数)
(2) 分离变量得: ,两边积分得,
,可知,即
又显然是方程的解.
方程的通解为(c为任意常数).
(3) 分离变量得, 两边积分得,即
从而,记有.
(4) 分离变量得,,两边积分得, 即
.
(5) 原方程可化为:,两边积分得
由得, 所以原方程满足初始条件的特解为
即.
(6) 分离变量得, 两边积分得
由得, 故原方程满足初始条件的特解为
.
(7) 分离变量得,两边积分得, 由得,所以,原方程满足初始条件的特解为.
2. 物体冷却速度与该物质和周围介质的温差成正比,具有温度为T0的物体放在保持常温为a的室内,求温度T与时间t的关系.
解: 设t时刻物体的温度为T,由题意有
(k为比例系数)
分离变量得,两边积分得, ,得, 由题意有时,,代入上式得, .
(k为比例系数).
3. 求下列微分方程的通解或在给定条件下的特解:
(1) xy′-y-=0;
(2) y′=+sin;
(3) 3xy2dy=(2y3-x3)dx;
(4) x2y′+xy=y2, y(1)=1;
(5) xy′=y(lny-lnx), y(1)=1;
(6) (y-x+2)dx=(x+y+4)dy;
(7) (x+y)dx+(3x+3y-4)dy=0.
解: (1) 原方程可化为, 令则, 代入原方程得: 即两边积分得
即
将代入得.
(2) 令,则代入原方程得:
即
两边积分得,则,
将代入得.
(3) 原方程可化为, 令,则, 代入上式得,
, 两边积分得, 即,
将代入得.
(4) 原方程可化为, 令, 则,代入上式得, 即, 两边积分得
即将代入得,
由得,
, 即
所以原方程满足初始条件的特解为.
(5) 原方程可化为, 令则, 上方程可化为
即
两边积分得即
亦即将代入得
由初始条件得
故原方程满足初始条件的特解为.
(6) 原方程可化为解方程组
得
作变换,原方程化为
这是一个齐次方程,按齐次方程的解法:
令, 方程可化为
两边积分可得,整理可得,
将代入上式得
将代入上式得
(7)原方程可化为
令,则,代入上方程得
即
即,
积分得.
将代入上式得,.
4. 求下列微分方程的通解或在给定初始条件下的特解:
(1) y′-y=sinx;
(2) y′-y=xnex;
(3) (x-2y)dy+dx=0;
(4) (1+xsiny)y′-cosy=0;
(5) y′- =(x+1)ex, y(0)=1;
(6) y′+,