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（乙卷理科）数学
题号 一 二 三 总分
得分
一 、单 项 选 择 题 （本大 题 共 12小题，共 ）
1 . 设全集U = {1,2,3,4,5 } , 集合M 满足Q M = {1,3},则（ ）
A. 2 e M B. 3 G M C. 4 g M D. 5 c M
2 . 已知z = l - 2 i , 且z + a2 + b = 0 , 其中a, b 为 实 数 ,则（ ）
A. a = 1, b = -2 B. a = - 1, b = 2
C. a = 1, b = 2 D. a = -1, b = —2
3 . 已知向量a, b满足|五| = 1, \b \ = V 3 ，\ a - 2 b \ = 3 , 则百•方= （ ）
A. -2 B. -1 C. 1 D. 2
4 . 嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞
，用到数列
। 】 与 + — \ —
{ % } ：瓦 = 1 + 今，b 2 = l + — r, % + —— r ） 依此类推，其中以 6
1 s a + -
2 *3
N*（k = l,2,…）.则（ ）
A . 瓦 < 优 B . 仇 < b s C. b 6 < b 2 D. b 4 < b 7
5 . 设F 为抛物线C:y2 = 4%的焦点，点a 在。上 ，点B （3,o）,若|AF| = |BF|,则 = （ ）
A. 2 B. 2V2 C. 3 D. 3\/2
（开 始 ）
6 . 执行右边的程序框图，输出的n = （ ）
（____________
A. 3 入 ： 1, b = l , 几=1 /
B. 4 ------- 1~ ~
b =b +2a
C. 5
a=b -a, n=n+]
D. 6
/输 出 〃 /
， 工 、
（结 束 ）
7 . 在正方体4 B C D - & B 1 G D 1 中，E, F 分别为4B, B C 的中点，则 ( )
A . 平面BiEF 1平 面 B . 平面BiEF 1 平面
C . 平面BiEF〃平面4 A C D . 平面a E F 〃平面4 G D
8 . 已知等比数列｛an ｝的前3项和为168, a2 - a 5 = 4 2 , 则 = ( )
A. 14 B. 12 C. 6 D. 3
9 . 已知球。的半径为1 , 四棱锥的顶点为0 , 底面的四个顶点均在球。的球面上，则当
该四棱锥的体积最大时，其高为( )
A. - B. - C . 在 D . 在
3 2 3 2
1 0 . 某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，
甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为P1，p2 , P 3 , 且P3 > P2 > P1 > 0•记该棋手连胜
两盘的概率为P ，则 ( )
A. p与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关
B . 该棋手在第二盘与甲比赛，p最大
C . 该棋手在第二盘与乙比赛，p最大
D . 该棋手在第二盘与丙比赛，p最大
的两个焦点为a , F2 , 以C 的实轴为直径的圆记为D , 过 &作 。的切线与C
交于M, N 两点，且C0S4F1NF2 = |，则C 的离心率 为( )
A . 渔 B. ； C . 由 D . 且
2 2 2 2
12 . 已知函数f(x), g(x)的定义域均为R , 且/'(x) + g(2 - %) = 5, g(x) - f(x - 4) = 7,
若y = g(x)的图像关于直线X = 2对称，g(2) = 4 , 则，氏" ( k ) = ( )
A. -21 B. -22 C. -23 D. -24
二 、填 空 题 (本 大 题 共 4 小题，共 )
13 . 从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作,则甲、乙 都 入 选 的 概 率 为 .
14 . 过四点(0,0), (4,0), (-1,1), (4,2)中的三点的一个圆的方程为__ .
15 . 记函数/(x) = cos(3X + (P)(3 > 0,0 <<p < 兀)的最小正周期为T , 若/'(7) = = ，x =
W为/(X)的零点，则3 的 最 小 值 为 .
2
16 . 已知x = X］和x = 无2分别是函数/(x) = 2ax _ e x ^a > 0且a + 1)的极小值点和极
大值点，若 与 < % 2，则a的取值范围是
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三 、解 答 题 (本 大 题 共 7 小题，共 )
17 . 记44BC的内角A 、B 、C的对边分别为a 、为 c , 已知sinCsin(A - B) = sinBsin(C — 4 ).
⑴ 证 明 : 2 a2 = b2 + c2 ;
(2 )若a = 5, cosX = | 1 , 求2 L4BC的周长.
18 . 如图，四面体48C。中4 。1 CD, AD = CD, = 乙BDC,
E为4 c 中点.
(1)证明：平面BED J■平面4CD;
(2 )设4B = BD = 2 , 乙4cB = 60。，点F 在BD上，当AAFC的面积最小时，求CF与
平面4 8 。所成角的正弦值.
19 . 某地经过多年的环填治理，
总材积量，随机选取了 10棵这种村木，测量每棵村的根部横截而积(心位：Hl?)和
材积量( m 3 ) , 得到如下数据：
样本数号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 总和
根部横截面积
阳
材积量% 5 2
并 计 算 得 羽 &々2 = 0038, £ 必 久 = , 2 g x i % = 474.
(1)估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量:
(2 )求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数();
(3)现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横
截面积总和为186m2 .已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比,利用以上数
据给出该林区这种树木的总材积量的估计值.
_ — — ( % - 方(以-切 _______
附：相关系数 国 2 1 心i- 彳' VL896 " .
2 0 . 已知椭圆E 的中心为坐标原点，对称轴为x轴 ，y 轴 ，且过4 ( 0 ,-2 ) , 8 ( | ,一1)两点
(1)求E 的方程；
(2 )设过点P ( l ,- 2 )的直线交E 于M , N两点，过M且平行于x 的直线与线段4 8 交于点
T , 点”满 足 而 = 而 ，证明：直线HN过定点.
2 1 . 已知函数f(x ) = ln(l + x) + axe-*.
(1)当a = 1时，求曲线f( x ) 在点(0 )(0 ))处的切线方程：
(2 )若f( x ) 在 区 间 (0,+ 8 )各恰有一个零点，求a 的取值范围.
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2 2 . 在直角坐标系x°y中 ,曲 线 C 的方程为［、 黑
(t为参数).以坐标原点为极点,
“轴正半轴为极轴建立极 坐标系，已知直线/的极 坐标方程为psin(O + 今 + m = 0.
(1)写出，的直角坐标方程：
(2)若工与C 有公共点，求沉的取值范围.
2 3 . ，且(J + 廉 + 2 = 1，证明：
1
(l)abc < -
a b c 1
(2) ----- 1------ 1---- - W —
b + c a + c a b 27ab e