文档介绍：第五节函数的微分
一、微分的定义
二、微分的计算
三、微分的意义与应用
本节要点
一、微分的定义

首先我们来看一个具体的例子:一块正方形的金属薄
片受温度变化的影响,其边长从
变化到,问此薄片的
面积改变了多少?
分析:当边长为时,相应的
面积为
而当边长增加到时,薄片面积的改变量为
从中可以看出由两部分构成: 第一部分是
的线性函数: 第二部分当是的高阶无
穷小. 由此可见:如果边长的改变很微小,则面积的
改变量可以近似地用第一部分来代替. 由于第一部分
是的线性函数,而且当| | 越小时,近似程度也越
好. 这给近似计算带来了很大的方便.
还有其它许多具体问题中的出现的函数都
具有这样的特征: 与自变量的增量相对应的函数的
增量可以表达为的线性函
数与的高阶无穷小的两部分和. 由此,我
们引入以下概念:

定义设函数在的某个邻域内有定义,当
自变量在处取得增量(点仍在该邻域) 时,
如果相应的函数增量可以表
示为
其中是与有关的而与无关的常数, 是的
高阶无穷小(当),那么称函数在点
是可微的, 称为函数在点相应于自变量
的增量的微分,记为,即

定理函数在点处可微的充要条件是函数
在点处可导且有
证必要性: 设函数在点处可微分,则
由定义,对给定的自变量的增量相应函数的增量为
即
注意到:
即有
充分性: 设函数在处可导,即有
由极限与无穷小的关系,得
其中为无穷小. 从而
即,函数在处可微分,且有
