文档介绍：1
§
一、偏导数
二、全微分
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偏导数定义及记法
定义:
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偏导数的几何意义
偏导数fx(x0,y0)就是曲面z=f(x,y)被平面y=y0所截得的曲线在点M0(x0,y0, f(x0,y0))处切线M0Tx对x轴的斜率。
偏导数fy(x0,y0)就是曲面z=f(x,y)被平面x=x0所截得的曲线在点M0(x0,y0, f(x0,y0))处切线M0Ty对y轴的斜率。
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偏导数计算
从偏导数定义可见,在增量比的极限过程中,只有一个变量在变,其余变量在该极限中不变,可看作常量,这就和导数一样了。
求偏导数的方法:对某变量求偏导,则将其余变量当作常量,按一元函数求导法计算即可。
解:
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例题与讲解
例:求下列偏导数
解:
(1)
(2)
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有关偏导数的几点说明
偏导数记号∂z/∂x、∂z/∂y是整体记号,不能拆分;
求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求。
解
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偏导数的经济意义(详细展开!)
设需求函数: Q1=Q1(p1,p2)、Q2=Q2(p1,p2)。
则
表示商品i关于商品j价格pj的边际需求。
而
表示商品i需求量对商品j价格pj的需求价格偏弹性。
通常,当i=j时称直接需求价格偏弹性;
当ij时称交叉需求价格偏弹性;
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偏导数存在与连续的关系
一元函数中在某点可导连续。
多元函数中在某点偏导数都存在连续?
但函数在该点处并不连续.
偏导数存在/连续.
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全微分
多元函数偏导数只描述了某个自变量变化而其它自变量不变时所引起的函数变化特征。
为了研究所有自变量同时发生变化时函数的变化特征,需引入全微分概念。
为说清全微分概念,先引入全增量概念。
全增量:若函数z=f(x,y)在点P0(x0,y0)的某邻域内有定义,设点P(x0+x, y0+y)是该邻域内任一点,则称这两点函数值之差 z = f(x0+x, y0+y) - f(x0,y0)为函数在点P0处对应于自变量改变量x 、y的全增量。即z = f(x0+x, y0+y) - f(x0,y0)。
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全微分的定义
定义:如果函数z=f(x,y)在点P0(x0,y0)处的全增量z可表示为z = Ax+By+;其中A=A(x0,y0) 、B=B(x0,y0)与x 、y无关,
即在(x,y)(0,0)时,是的高阶无穷小量;
则称z的线性主部Ax+By为函数z=f(x,y)在
点P0(x0,y0)处的全微分,记为dz,即
dz= Ax+By
并称函数z=f(x,y)在点P0(x0,y0)处可微。