向量解题技巧.pdf

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掌握并理解向量的基本概念

     
(1)若 a  b,b  c,则a  c ；
     
(2)两向量 a、b 相等的充要条件是 a  b 且 a、b 共线 ；
   
(3) a  b 是向量 a  b 的必要不充分条件；
 
(1)若 A、B、C、D 是不共线的四点，则 AB  DC 是四边形 ABCD 为平行四边形的充要条件；
 
(2) AB  CD 的充要条件是 A 与 C 重合， B与D 重合。
二、向量运算及数乘运算的求解方法
两个不共线的向量，加法的三角形法则和平行四边形法则是一致的。两个有相同起点的向量的差

是连结两向量的终点，方向指向被减向量的向量，若起点不同，要平移到同一起点；重要结论： a 与
      
b 不共线，则 a  b与a  b 是以 a 与 b 为邻边的平行四边形两条对角线所表示的向量。在求解向量
的 坐 标 运 算 问 题 时 ， 注 意 向 量 坐 标 等 终 点 坐 标 减 起 点 坐 标 ， 即 若 A(x , y ), B(x , y ) ， 则
1 1 2 2
  
AB  OB  OA  (x , y )  (x , y )  (x  x , y  y ) 。
2 2 1 1 2 1 2 1
例 1 若向量 a  (3,2), b  (0,1), 则2b  a的坐标是 _______
例 2 若向量 a  (1,1), b  (1,1), c  (1,2)则c  ____
例 3 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， O 为 坐 标 原 点 ， 已 知 两 点 A(3,1),B(1,3), 若 点
  
C满足 OC OA OB ，其中,  R 且   1，则点 C 的轨迹为（ ）
例 4 O 是 平 面 上 一 定 点 ， A、B、C 是 平 面 上 不 共 线 的 三 个 点 ， 动 点 P 满 足
 
  AB AC
OP  OA  (    ) ，  [0,) ，则 P 的轨迹一定过 ABC的（）
AB AC
A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心
例 5 设 G 是 ABC内的一点，试证明:
   
(1)若 G 是为 ABC重心，则GA GB  BC  0 ；
   
(2)若 GA  GB  BC  0 ，则 G 是为 ABC重心。
三、三点共线问题的证法
   
A,B,C 三点共线，由共线定理 ( AB与AC共线 )，只需存在实数  ，使 AB  AC ，，
其中必须有公共点。
 
共线的坐标表示的充要条件，若 a  (x , y ),b  (x , y ) ，则
1 1 2 2
  
例 1 已知 A、B 两点，P 为一动点，且 OP  OA  tAB ，其中 t 为一变量。
证明： 必在直线 AB 上； 取何值时，P 为 A 点、B 点？
   
例 2 证明：始点在同一点的向量 a、b、3a  2b 的终点在同一直线上
       
例 3 对于非零向量 a、b,求证：a  b  a  b  a  b
四、求解平行问题
两向量平行，即共线，往往通过“点的坐标”来实现；两向量是否共线与它们模长的大小无关，
只由它们的方向决定；两向量是否相等起点无关，只由模长和方向决定。
 
例 1 已知 M (1,0),N(0,1),P(2,1),Q(1, y) 且 MN // PQ，求 y 的值。
  
例 2 已知点 A(1,2) ，若向量 AB与a  (2,3)同向，AB  2 13, 则 B 点的坐标是____.
  
例 3 平面内给定三向量 a  (3,2), b  (1,2), c  (4,1) ，则：
  
(1) 求 3a  b  2c; (2) 求满足 a  mb  nc的实数 m、n
   
(3) 若 (a  kb) //(2b  a), 求实数 k;
     
(4) 设 d  (x, y)满足(d  c) //(a  b)且 d  c 1,求d.
例 4
 
(1) 已知点 A(4,0),B(4,4),C(2,6) ，求 AC与DB的交点， P的坐标 。
(2) 若平行四边形 ABCD 的顶点 A(1,2), B(3,1), C (5,6), 求顶点 D的坐标。
五、向量的数量积的求法
   
定义法： a b  a  b cos
求数量积：   
坐标法： a b  x x  y y
 1 2 1 2
     
当 a //b 时，   0和  180  两种可能。故 a b   a  b
               
一些重要的结论： a 2  a  a  a 2 ； (a  b)2  a 2  2a b  b 2 ； (a  b)(a b)  a 2 b 2
  
例 1 设 a,b,c 是任意的非零的向量，且相互不共线，则（ ）
其中是真命题的为（ ）
        
例 2 已知平面上三点 A、B、C，满足 AB  3, BC  4, CA  5, 则 AB  BC  BC CA  CA AB
的值等于________。
      
例 3 已知向量 a和b 的夹角为120 ，且 a  2, b  5,则(2a  b)  a  ______.
六、如何求向量的长度
 
形如 a  b 的模长求法：先平方  转化为含数量积运算  开方 ，即：
         
例 1 已知向量 a,b, a  b  4,a与b的夹角为60,则a  b  ____, a  b  ____, 其中
       
例 2 设向量 a,b满足 a  b 1, 3a  2b  3,求3a  b 的值。
七、如何求两向量的夹角
 
a b x x  y y
cos    1 2 1 2
夹角公式： 
a b x2  y 2  x2  y 2
1 1 2 2
   1   
例 1 已知 a 10, b 12,且(3a) ( b)  36,求a,b的夹角_____.
5
 
例 2 若 e 与e 是 夹 角 为 60 的 单 位 向 量 ， 且
1 2
         
a  2e  e , b  3e  2e , 求a  b 及a与b 的夹角 。
1 2 1 2
八、垂直问题的求解
   
向量垂直的充要条件： a  b  a  b  0  x x  y y  0
1 2 1 2
       
例 1 若向量 a,b满足 a  b  a  b ,则a与b所成的角。
 
例 2 在 ABC中 AB  (2,3), AC  (1, k), 且ABC 的一个内角为直角，求 k 的值。
       
例 3 已知 a  b, a  2, b  。3a  2b与a  b垂直，求
 
例 4 已知 O(0,0), A(0,5), B(6,3), AD  OB于点 D, 求D点的坐标。
九、向量的数量积的逆向应用
求解有关向量的问题，可设出该向量的坐标，列出方程或方程组求之。
    
a  (4,3), b 1,且a b  5,则b  ?
例 1 已知
  
例 2 求与向量a  ( 3,1)和b  (1, 3)的夹角相等，且模长为 ２的向量 c的坐标
   
例 3 若平面向量 b与向量a  (1,2)的夹角是180，且b  3 5,则b  ( )
   
例 4 已知向量b与向量a  (3,4)垂直，且b 15,则b  _______.
十、线段定比分点公式的运用技巧
求解定比分点问题，要注意结合图形，分清是内分点是外分点，不能混淆起点和终点，
 x  x  x  x
x  1 2 x  1 2
 1   2
定比分点坐标公式：  y  y 中点坐标公式：  y  y ，
y  1 2 y  1 2
 1   2
 x  x  x
x  1 2 3
 3
重心坐标公式：  y  y  y
y  1 2 3
 3
 3 
例 1 设点 P 分有向线段 PP 所成的比为 ，则 P 分 P P 所成的比为________。
1 2 4 1 2
 
例 2 已知两点 P(4,9),Q(2,3),则PQ 与 y 轴的交点分有向线段 PQ所成的比为 ___.
十一、利用平移公式解题

点 A(x, y) 按向量 a  (h, k )平移，得到点 ( x  h, y  k )，而函数 y  f ( x)的图像按 向量

a  (h,k)平移得到的函数的解析 式为 y  f (xh)k ，解题时要注意理解图像平移前后的关
系。

例 1 已知两个点 P(1,2), P' (2,14 ),向量 a  (3,12 ), 则：

(1)把 P 按向量 a 平移得_______.

(2)某点按 a ,得到 P' ，求这个点坐标。
(3)P 按某向量平移得到 P' ,求这个向量坐标。

例 2 将函数 y  log (2x 1)  4 的图像按向量 a 平移后得到的是函数 y  log (2x) 的图像，那
3 3

么 a 的坐标是_______.
  
例 3 将函数 y  2sin 2 x的图像按向量 a平移，得 y  2sin(2x  ) 1的图像，则向量 a 的
3
坐标是（ ）
十二、怎样利用正、余弦定理求三角形的边与角
主要考查正、余弦定理，勾股定理、三角变换，诱导公式。
a b c
正弦定理：    2R ；a  2R  sin A ，b  2R  sin B ，c  2R  sin C
sin A sin B sin C
1 1 1
三角形面积公式： S  absin C  bcsin A  acsin B 。
ABC 2 2 2
b2  c2  a2
余弦定理： a2  b2  c2  2bccos A; cos A 
2bc
下面关系式需熟记：在 ABC中
例 1 在 ABC中，sin A : sin B : sin C  2:3: 4,则ABC  ?
例 2 已知 ABC中的最大角 A 是最小角 C 的二倍，且 a、b、c 成等差数列，则 a : b : c  ____
例 3 已知 a、b、c 是 ABC中 A,B,C 的对边，a、b、c 成等差数列，B  30 ，ABC
3
的面积为 ，那么b  _____ 。
2
   6 
例 4 在 RtABC 中， C  , a  b  c, 求 A－B的值 。
2 2
十三、如何判定三角形的形状
原则上是将角化成边或将边化成角，主要工具是正余弦定理和三角恒等变形及代数变形。
注意：做等式变形过程中因式不可直接约分！
例 1 在 ABC中，若2cosB sin A  sin C, 则 ABC的形状一定是（ ）
c
例 2 关于 x的方程x  xcosAcosB cos2  0 有一根为 1，则 ABC的形状一定是（ ）
2
例 3 在 ABC中，a2 tan B  b2 tan A,则 ABC是（ ）