文档介绍：波函数及其在解高考题中的应用
江苏省特级教师丰县中学戴儒京
一、什么是波函数?
  波函数的定义:
 
为了定量地描述介质中波动的情况,必修求得介质中各质元的位移与该质元所处的平衡位置及时间的定量关系,这种定量关系就是波的表达式,也叫做波函数(wave function)。
 
二、简谐波函数的推导
 
设有一波前为平面的简谐波,在均匀介质中沿轴正方向传播,波速为。由于这是一种平面波,所以在与轴垂直的平面上,各点的振动情况是一样的。所以只要讨论轴上各点的振动,就可以知道空间中各点的情况。
 
以O点为波源,设该处质元做简谐振动,其位移与时间的关系为
 

 
式中A为振幅,为角频率。考察波线O上的任一点P,它离O点的距离为,当波源O的振动传到P点时,P点的质元将重复O点的质元的振动,角频率也相同,但振动的相位要落后于O点。因为O点的振动传到P点需要时间,所以P处质元在时刻的振动相位和O点质元在时刻的振动相位一样,即其相位为:
 
因为平面简谐波传播时各质元的振幅相等,P处质元在时刻的位移为:,这就是平面简谐波的波函数。因为,, 所以波函数也可以写为 
 
当取某一确定值时,波函数便是某质点的振动方程,例如,便是振源O的振动方程。据此可以画出该质点的振动图象。
 
当取某一确定值时,波函数便是某时刻的波动方程,例如,便是时刻的波动函数方程。据此可以画出该时刻的波的图象。
 
三、波函数的应用:解高考“波的传播”题
 
波的传播问题,历来是高考的热点。不论原大纲高考,还是新课标高考,波的图象问题,都占有一席之地。2010年高考的波的图象问题,又有新动向。如2010年高考上海物理卷第20题,是一道关于波的图象的难题,难在哪?难在两点间的距离不是的整数倍,还难在波的传播时间不是的整数倍,而以往的高考题往往都是的整数倍。笔者经认真研究,给出本题的不同于一般的解法:用波函数解,当然,也就给出了此类题的此种解法。因为2010年高考其它省市的理综或物理试卷中,关于机械振动和机械波的题目,也有此类情况,这,就是高考题的发展与变化的规律。
 
例1(2010年高考上海卷第20题)如图1,一列沿轴正方向传播的简谐横波,振幅为,波速为,在波的传播方向上两质点的平衡位置相距(小于一个波长),当质点在波峰位置时,质点在轴下方与轴相距的位置,则
 
图1
 

 

 
,点可能在波谷位置                  
 
,点可能在波峰位置
 
:形象思维解题法
 
对AB选项,根据题意,有两种情况:
 
第1种情况:
 
波的图象如图2,从图象得,,,根据,,所以波长,周期,A正确。
 
图2
 
第2种情况:
 
波的图象如图3,从图象得,,, ,根据,,所以,波长,周期。
 
图3
 
因为只有以上两种情况,所以B错误。
 
对CD选项,根据以上两种情况,也有两种有两种对应的情况:
 
第1种情况,波长是的波,在波的图象如图4,从图象知,b在波谷,所以C正确。
 
图4
 
第2种情况,波长是的波,波的图象如图5,从图象知,的在波峰,所以D正确。
 
图5
 
综上各图,所以本题选ACD。
 
:抽象思维解题法
 
波函数,
 
在求出波长和周期后,
 
第1种情况,振幅,周期,波长,所以具体波函数是,将和代入波函数得:,是波谷;所以C正确。
 
第2种情况,振幅,周期,波长,所以具体波函数是,将和代入波函数得:,是波峰;所以D正确。
 
所以本题选ACD。a
 
例2(2008年高考上海卷第22题).
 
22.(12分)有两列简谐横波a、b在同一媒质中沿x轴正方向传播,波速均为v=。在t=0时,两列波的波峰正好在x=,如图所示。
 
(1)求两列波的周期Ta和Tb。
 
(2)求t=0时,两列波的波峰重合处的所有位置。
 
(3)辨析题:分析并判断在t=0时是否存在两列波的波谷重合处。
 
某同学分析如下:既然两列波的波峰存在重合处,那么波谷与波谷重合处也一定存在。只要找到这两列波半波长的最小公倍数,……,即可得到波谷与波谷重合处的所有位置。
 
你认为该同学的分析正确吗?若正确,求出这些点的位置。若不正确,指出错误处并通过计算说明理由。
 
 
分析:本题考查机械波的图象和用数学方法解决物理问题。
 
(1)从图象可以直接读