文档介绍：大学物理****题集
第一章质点运动学
一质点沿直线运动,运动方程为x(t) = 6t2 - :
(1)第2s内的位移和平均速度;
(2)1s末及2s末的瞬时速度,第2s内的路程;
(3)1s末的瞬时加速度和第2s内的平均加速度.
[解答](1)质点在第1s末的位置为:x(1) = 6×12 - 2×13 = 4(m).
在第2s末的位置为:x(2) = 6×22 - 2×23 = 8(m).
在第2s内的位移大小为:Δx = x(2) – x(1) = 4(m),
经过的时间为Δt = 1s,所以平均速度大小为:=Δx/Δt = 4(m·s-1).
(2)质点的瞬时速度大小为:v(t) = dx/dt = 12t - 6t2,
因此v(1) = 12×1 - 6×12 = 6(m·s-1),
v(2) = 12×2 - 6×22 = 0
质点在第2s内的路程等于其位移的大小,即Δs = Δx = 4m.
(3)质点的瞬时加速度大小为:a(t) = dv/dt = 12 - 12t,
因此1s末的瞬时加速度为:a(1) = 12 - 12×1 = 0,
第2s内的平均加速度为:= [v(2) - v(1)]/Δt = [0 – 6]/1 = -6(m·s-2).
[注意] 第几秒内的平均速度和平均加速度的时间间隔都是1秒.
一质点作匀加速直线运动,在t = 10s内走过路程s = 30m,而其速度增为n = ,并由上述资料求出量值.
[证明]依题意得vt = nvo,根据速度公式vt = vo + at,得
a = (n – 1)vo/t, (1)
根据速度与位移的关系式vt2 = vo2 + 2as,得
a = (n2 – 1)vo2/2s,(2)
(1)平方之后除以(2)式证得:.
计算得加速度为:= (m·s-2).
一人乘摩托车跳越一个大矿坑,°的夹角的初速度65m·s-1从西边起跳,,忽略空气阻力,且取g = 10m·s-:
(1)矿坑有多宽?他飞越的时间多长?
(2)他在东边落地时的速度?速度与水平面的夹角?
[解答]方法一:分步法.
(1)夹角用θ表示,人和车(人)在竖直方向首先做竖直上抛运动,初速度的大小为
vy0 = v0sinθ= (m·s-1).
取向上的方向为正,根据匀变速直线运动的速度公式
vt - v0 = at,
这里的v0就是vy0,a = -g;当人达到最高点时,vt = 0,所以上升到最高点的时间为
t1 = vy0/g = (s).
再根据匀变速直线运动的速度和位移的关系式:vt2 - v02 = 2as,
可得上升的最大高度为:h1 = vy02/2g = (m).
人从最高点开始再做自由落体运动,下落的高度为;h2 = h1 + h = (m).
根据自由落体运动公式s = gt2/2,得下落的时间为:= (s).
因此人飞越的时间为:t = t1 + t2 = (s).
人飞越的水平速度为;vx0 = v0cosθ= (m·s-1),
所以矿坑的宽度为:x = vx0t = (m).
(2)根据自由落体速度公式可得人落地的竖直速度大小为:vy = gt = (m·s-1),
落地速度为:v = (vx2 + vy2)1/2 = (m·s-1),
与水平方向的夹角为:φ= arctan(vy/vx) = º,方向斜向下.
方法二:一步法.
取向上为正,人在竖直方向的位移为y = vy0t - gt2/2,移项得时间的一元二次方程
,
解得:.
这里y = -70m,根号项就是人落地时在竖直方向的速度大小,由于时间应该取正值,所以公式取正根,计算时间为:t = (s).
由此可以求解其它问题.
一个正在沿直线行驶的汽船,关闭发动机后,由于阻力得到一个与速度反向、大小与船速平方成正比例的加速度,即dv/dt = -kv2,k为常数.
(1)试证在关闭发动机后,船在t时刻的速度大小为;
(2)试证在时间t内,船行驶的距离为.
[证明](1)分离变数得, 故,
可得: .
(2)公式可化为,
由于v = dx/dt,所以:
积分.
因此. 证毕.
[讨论]当力是速度的函数时,即f = f(v),根据牛顿第二定律得f = ma.
由于a = d2x/dt2, 而 dx/dt = v, a = dv/dt,
分离变数得方程:,
解方程