文档介绍：第七章曲线拟合与函数逼近
/* Approximation Theory */
仍然是已知 x1 … xm ; f1 … fn, 求一个简单易算的近似函数 y(x) f(x)。
但是
① n很大;
② fi 本身是测量值,不准确,即 fi f (xi)
这时没必要取 f(xi) = yi , 而要使 f(xi) yi 总体上尽可能小。
常见做法:
使最小/* minimax problem */
太复杂
使最小
不可导,求解困难
使最小/* Least-Squares method */
对离散的和,
.
对连续的f (x)和g (x) ,有:
* 设, 称
为f (x)和g (x) 在[a,b]上的内积.
的范数定义
§ 拟合和逼近的概念
* f (x)C[a,b]在[a,b]上的范数定义为
其中最小二乘法则算法最简单也最常用,当f (x)是离散数据时,称为最小二乘拟合;当f (x)是连续函数时,称为最佳平方逼近.
定义误差函数,若构造 y (x)
使,称最小一乘法则;
使,称最小二乘法则;
使,称最佳一致逼近.
§ 最小二乘拟合多项式/* L-S approximating polynomials */
确定多项式,对于一组数据(xi, fi) (i = 1, 2, …, n) 使得达到极小,这里 m <<n。
m
a
a
a
1
0
实际上是 a0, a1, …, am 的多元函数,即
[
]
=
-
+
+
+
=
n
i
i
m
i
m
i
m
f
x
a
x
a
a
a
a
a
1
2
1
0
1
0
...
)
,
...
,
,
(
j
在的极值点应有
k
i
n
i
m
j
i
j
i
j
x
f
x
a
=
=
-
=
1
0
]
[
2
-
=
=
=
=
+
m
j
n
i
k
i
i
n
i
k
j
i
j
x
f
x
a
0
1
1
2
记
=
=
=
=
n
i
k
i
i
k
n
i
k
i
k
x
f
c
x
b
1
1
,
法方程组(或正规方程组)
/* normal equations */
回归系数
/* regression coefficients */
数据拟合的余项
对任意的j,其值为0
利用最小二乘法求该组数据的多项式拟合曲线
设有如下数据
x
1
3
4
5
6
7
8
9
10
f (x)
10
5
4
2
1
1
2
3
4
解将表中的数据点描绘在坐标纸上,可以看出这些点近似为一条抛物线.
余下步骤见教材
故拟合曲线可取为
正规方程组为
解之得 a0=,
a1 =-, a2 =
二次多项式拟合曲线方程为
有多少组数据这里就是多少
所有xi的一次方之和
所有xi的平法和
所有xi的三次方之和
所有xi的四次次方之和
所有yi的之和
所有yi xi的之和
所有yi x2i的之和
计算过程中的技巧:
0
.
设有数据,求其拟合多项式.
i
1
0
0
0
0
0
0
2
3
4
5
求和
解:表格计算
xi fi xi2 xi3 xi4 xi fi xi 2fi
(1)先求一次拟合多项式,正规方程为c
解之有 a 0 =, a 1 =