文档介绍：
高二数学选修1-1 第三章导数及其应用
知识回顾
一、如何判断函数函数的单调性?
f(x)为增函数
f(x)为减函数
设函数y=f(x) 在
某个区间内可导,
二、如何求函数的极值与最值?
求函数极值的一般步骤
(1)确定定义域
(2)求导数f’(x)
(3)求f’(x)=0的根
(4)列表
(5)判断
求f(x)在闭区间[a,b]上的最值的步骤:
(1) 求f(x)在区间(a,b)内极值;
(2) 将y=f(x)的各极值与f(a)、f(b)比较,从而确定函数的最值。
知识背景:
生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题,,我们知道,导数是求函数最大(小)值的有力工具,本节我们运用导数,解决一些生活中的优化问题.
例1:海报版面尺寸的设计
学校或班级举行活动,通常需要张贴海报进行宣传。-1所示的竖向张贴的海报,要求版心面积为128dm2,上、下两边各空2dm,左、右两边各空1dm,如何设计海报的尺寸,才能使四周空白面积最小?
-1
分析:已知版心的面积,你能否设计出版心的高,求出版心的宽,从而列出海报四周的面积来?
你还有其他解法吗?例如用基本不等式行不?
因此,x=16是函数S(x)的极小值,也是最小值点。所以,当版心高为16dm,宽为8dm时,能使四周空白面积最小。
解法二:由解法(一)得
问题2:饮料瓶大小对饮料公司利润有影响吗?
你是否注意过,市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些?你想从数学上知道它的道理吗?
是不是饮料瓶越大,饮料公司的利润越大?
规格(L)
2

价格(元)

例2:饮料瓶大小对饮料公司利润的影响
下面是某品牌饮料的三种规格不同的产品,若它们
的价格如下表所示,则
(1)对消费者而言,选择哪一种更合算呢?
(2)对制造商而言,哪一种的利润更大?
某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料,,其中r是瓶子的半径,单位是厘米,已知每出售1ml的饮料,,且制造商能制造的瓶子的最大半径为6cm,(1)瓶子半径多大时,能使每瓶饮料的利润最大?
(2)瓶子半径多大时,每瓶饮料的利润最小?
r
(0,2)
2
(2,6]
f '(r)
0
f (r)
-
+
减函数↘
增函数↗
-
∴每瓶饮料的利润:
背景知识
解:由于瓶子的半径为r,所以每瓶饮料的利润是
当半径r>2时,f ’(r)>0它表示 f(r) 单调递增, 即半径越大,利润越高;
当半径r<2时,f ’(r)<0 它表示 f(r) 单调递减,
即半径越大,利润越低.
时,利润最小,这时
表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本,
此时利润是负值
,利润最大