文档介绍：数学建模与数学实验
拟合
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实验目的
实验内容
2. 掌握用数学软件求解拟合问题.
1. 直观了解拟合基本内容.
1. 拟合问题引例及基本原理.
4. 实验作业.
2. 用数学软件求解拟合问题.
3. 应用实例.
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拟合
2. 拟合的基本原理
1. 拟合问题引例
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拟合问题引例 1
温度t(ºC)
电阻R() 765 826 873 942 1032
已知热敏电阻数据:
求60ºC时的电阻R.
设 R=at+b
a,b为待定系数
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拟合问题引例 2
t (h) 1 2 3 4 6 8
c (g/ml)
已知一室模型快速静脉注射下的血药浓度数据(t=0注射300mg)
求血药浓度随时间的变化规律c(t).
作半对数坐标系(semilogy)下的图形
MATLAB(aa1)
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曲线拟合问题的提法
已知一组(二维)数据,即平面上 n个点(xi,yi) i=1,…,n, 寻求一个函数(曲线)y=f(x), 使 f(x) 在某种准则下与所有数据点最为接近,即曲线拟合得最好.
+
+
+
+
+
+
+
+
+
x
y
y=f(x)
(xi,yi)
i
i 为点(xi,yi) 与曲线 y=f(x) 的距离
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拟合与插值的关系
函数插值与曲线拟合都是要根据一组数据构造一个函数作为近似,由于近似的要求不同,二者在数学方法上是完全不同的.
实例:下面数据是某次实验所得,希望得到X和 f之间的关系?
)
问题:给定一批数据点,需确定满足特定要求的曲线或曲面
解决方案:
若不要求曲线(面)通过所有数据点,而是要求它反映对象整体的变化趋势,这就是数据拟合,又称曲线拟合或曲面拟合.
若要求所求曲线(面)通过所给所有数据点,就是插值问题;
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最临近插值、线性插值、样条插值与曲线拟合结果:
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曲线拟合问题最常用的解法——线性最小二乘法的基本思路
第一步:先选定一组函数 r1(x), r2(x), …,rm(x), m<n, 令
f(x)=a1r1(x)+a2r2(x)+ …+amrm(x) (1)
其中 a1,a2, …,am 为待定系数.
第二步: 确定a1,a2, …,am 的准则(最小二乘准则):
使n个点(xi,yi) 与曲线 y=f(x) 的距离i 的平方和最小.
记
问题归结为,求 a1,a2, …,am 使 J (a1,a2, …,am) 最小.
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线性最小二乘法的求解:预备知识
超定方程组:方程个数大于未知量个数的方程组
即 Ra=y
其中
超定方程组一般不存在解的矛盾方程组.
如果有向量a使得达到最小,
则称a为上述超定方程组的最小二乘解.
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