复变函数第三讲.ppt

文档介绍：第三讲解析函数的充要条件初等函数
1. 解析函数的充要条件
2. 举例
§ 解析函数的充要条件
如果复变函数 w = f (z) = u(x, y) + iv(x, y)在定义域 D内处处可导,则函数 w = f (z) 在 D内解析。
本节从函数 u (x , y) 及 v (x , y) 的可导性,探求
函数w = f (z) 的可导性,从而给出判别函数解析的
一个充分必要条件,并给出解析函数的求导方法。
问题如何判断函数的解析性呢?
一. 解析函数的充要条件
记忆
定义方程
称为Cauchy-Riemann方程(简称C-R方程).
定理1 设 f (z) = u (x, y) + iv(x, y)在 D 内有定义,
则 f (z)在点 z = x+iy ∈D处可导的充要条件
是u(x, y) 和 v(x, y) 在点(x, y ) 可微, 且满足
Cauchy-Riemann方程
上述条件满足时,有
证明
(由f (z)的可导 C-R方程满足上面已证!只须证
f (z)的可导函数 u(x, y)、v(x, y)可微)。
∵函数 w =f (z)点 z可导,即
则 f (z+ Δz)-f(z)=f (z)Δz+(Δz)Δz (1), 且
Δu+iΔv = (a+ib)(Δx+iΔy)+(1+i2)(Δx+iΔy)
=(aΔx-bΔy+1Δx-2Δy)
+i(bΔx+aΔy+2Δx+1Δy)
令:f (z+Δz) - f (z)=Δu+iΔv,f (z)= a+ib,
(Δz)=1+i2 故(1)式可写为
因此Δu=aΔx-bΔy+1Δx-2Δy ,
Δv=bΔx+aΔy+2Δx+1Δy