文档介绍：第三章复变函数的积分
(与实函数中二型线积分类比)
§
线积分
复积分
一个复积分的实质是
两个实二型线积分
dz
«
复积分存在的一个充分条件:
复积分的性质:
1 线性性:
例题1
(2)C:左半平面以原点为中心逆时针方向的半单位圆周。
解(1)
(2)参数方程为
可见此例积分与路径有关。
例题2
解:
例如
例题3
证明:
例如
练习
例题4
解:
可见,此例积分与路径无关仅与起点和终点有关。
§ 柯西积分定理
定理1(Cauchy)
如果函数 f (z)在单连通域D内处处解析, 则它在D内沿任何一条封闭曲线 C 的积分为零:
注1:定理中的曲线C可以不是简单闭曲线.
注2:如果曲线C是D的边界, 函数 f (z)在D内与C上解析, 甚至 f (z)在D内解析, 在边界C 上连续, 则 f (z)在边界上的积分仍然有
推论:若函数 f (z)在单连通域D内处处解析,曲线C属于D,
与路径无关仅与起点和终点有关。
于是
是解析函数。
解析函数的导数仍为解析函数
特别地
例如:
注:以上讨论中D为单连通域。
这里D为复连通域。
可将柯西积分定理推广到多连通域的情况
定理2 假设C及C1为任意两条简单闭曲线, C1在C内部,设函数 f (z)在C及C1所围的二连域D内解析, 在边界上连续,则
证明:取
这说明解析函数沿简单闭曲线积分不因闭曲线在区域内作连续变形而改变它的值。
------闭路变形原理
推论(复合闭路定理):
(互不包含且互不相交),
所围成的多连通区域,