复变函数5留数.ppt

文档介绍：第五章留数
§1 孤立奇点
f (z)虽在z0不解析, 但在z0的某一个去心邻域0<|z-z0|<d内处处解析, 则z0称为f (z)的孤立奇点.
将函数 f (z)在它的孤立奇点z0的去心邻域
0<|z-z0|<d 内展开成洛朗级数. 根据展开式的
不同情况对孤立奇点作分类.
可去奇点如果在洛朗级数中不含z-z0的负幂项,
则孤立奇点z0称为 f (z)的可去奇点.
f (z)= c0 + c1(z-z0) +...+ cn(z-z0)n +.... 0<|z-z0|<d ,
从而 f (z).
则在圆域|z-z0|<d 内就有
f (z)= c0 + c1(z-z0)+...+cn(z-z0)n +...,
2. 极点如果在洛朗级数中只有有限多个z-z0的负幂项, 且其中关于(z-z0)-1的最高幂为(z-z0)-m, 即 f (z)=c-m(z-z0)-m+...+c-2(z-z0)-2+c-1(z-z0)-1+c0
+c1(z-z0)+... (m1, c-m0),
则孤立奇点z0称为函数 f (z)的m级极点.
上式也可写成
其中 g (z) = c-m+ c-m+1(z-z0) + c-m+2(z-z0)2 +... ,
在|z-z0|<d 内是解析的函数, 且 g (z0)  0 .
反过来, 当任何一个函数 f (z) 能表示为的
且g (z0)  0 时, 则z0是 f (z)的m级极点.
如果z0为 f (z)的极点, 由(*)式, 就有
3. 本性奇点如果在洛朗级数中含有无穷多z-z0的负幂项,则孤立奇点z0称为 f (z)的本性奇点.
综上所述:
我们可以利用上述极限的不同情形来判别孤立奇点的类型.

不恒等于零的解析函数 f (z)如果能表示成f (z) = (z-z0) m j (z), 其中j (z)在z0解析且j (z0)  0,
m为某一正整数, 则z0称为f (z)的m级零点.
例如 f (z)=z(z-1)3, z=0与z=1是它的一级与三级零点.
根据这个定义, 我们可以得到以下结论:如 f (z)在z0解析, 则z0是 f (z)的m级零点的充要条件是 f (n)(z0)=0, (n=0,1,2,...,m-1), f (m)(z0)0 .
由于f (z) = (z-z0) m j (z)中的j (z)在z0解析, 且j (z0)  0, 因而它在 z0的邻域内不为零.
不恒为零的解析函数的零点是孤立的.
定理如果 z0是 f (z)的m级极点, 则z0就是
的 m级零点, 反过来也成立.
该定理为判断函数的极点提供了较为简单的方法.
例如 z=1是 f (z)=z3-1的零点, 由于 f ‘(1) = 3z2|z=1=3  0, 从而知 z=1是 f (z)的一级零点.