文档介绍：第四讲数形结合思想
所谓数形结合,就是根据数与形之间的对应关系,通过数与形的相互转
化,将反映问题的抽象数量关系与直观图形结合起来,也即将抽象思维与形

通过“以形助数,以数解形”,使复杂问题简单化,抽象问题具体化,有助于
.
,要遵循三个原则:
(1),代数性质和几何性质的转换必须是等价
的,,由于图形的局限性,不能完整的表
现数的一般性,这时图形的性质只能是一种直观而浅显的说明,要注意
其带来的负面效应.
(2),又要进行相应的代数抽象探求,仅对代数问题进行几何分析容易出错.
(3)“数形结合”,一要考虑是否可行和是否有利;二要选择好突破口,恰当设参、用参、建立关系,做好转化;三要挖掘隐含条件,准确界定参变量的取值范围,特别是运用函数图象时应设法选择动直线与定二次曲线.
:
(1)构建函数模型并结合其图象求参数的取值范围;
(2)构建函数模型并结合其图象研究方程根的范围;
(3)构建函数模型并结合其图象研究量与量之间的大小关系;
(4)构建函数模型并结合其几何意义研究函数的最值问题和证明不等
式;
(5)构建立体几何模型研究代数问题;
(6)构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型研究最值问题;
(7)构建方程模型,求根的个数;
(8)研究图形的形状、位置关系、性质等.
,特别是
在解选择题、填空题时发挥着奇特功效,这就要求我们在平时学习
中加强这方面的训练,,应注
意以下几点:
(1)准确画出函数图象,注意函数的定义域;
(2)用图象法讨论方程(特别是含参数的方程)的解的个数是一种行之有
效的方法,值得注意的是首先要把方程两边的代数式看作是两个函数
的表达式(有时可能先作适当调整,以便于作图),然后作出两个函数
的图象,由图求解.
,需做到以下四点:
(1)要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征;
(2)要恰当设参,合理用参,建立关系,做好转化;
(3)要正确确定参数的取值范围,以防重复和遗漏;
(4)精心联想“数”与“形”,使一些较难解决的代数问题几何化,几何问
题代数化,以便于问题求解.
很多数学概念都具有明显的几何意义,善于利用这些几何意义,往往
能收到事半功倍的效果.
拓展提升——开阔思路提炼方法
(1)用函数的图象讨论方程(特别是含参数的指数、对数、根式、三角等
复杂方程)的解的个数是一种重要的思想方法,其基本思想是先把方程两边
的代数式看作是两个熟悉函数的表达式(不熟悉时,需要作适当变形转化为
两熟悉的函数),然后在同一坐标系中作出两个函数的图象,图象的交点个
数即为方程解的个数.
(2)解不等式问题经常联系函数的图象,根据不等式中量的特点,选择
适当的两个(或多个)函数,利用两个函数图象的上、下位置关系转化数量
关系来解决不等式的解的问题,往往可以避免繁琐的运算,获得简捷的解
答.
(3)函数的单调性经常联系函数图象的升、降;奇偶性经常联系函数图
象的对称性;最值(值域)经常联系函数图象的最高、最低点的纵坐标.