文档介绍：
a
b
y=f(x)
x
o
y
y=f(x)
x
o
y
a
b
f '(x)>0
f '(x)<0
复习:函数单调性与导数关系
如果在某个区间内恒有,则为常数.
设函数y=f(x) 在某个区间内可导,
f(x)增函数
f(x)减函数
巩固:
定义域R,f′(x)=x2-x=x(x-1)
令x(x-1)>0, 得x<0或x>1,
则f(x)单增区间(-∞,0),(1,+∞)
令x(x-1)<0,得0<x<1, f(x)单减区(0,2).
注意:
求单调区间: 1:首先注意定义域,
2:其次区间不能用( U) 连接
(第一步)
解:
(第二步)
(第三步)
y
x
O
a
b
y=f(x)
x1
f (x1)
x2
f(x2)
x3
f(x3)
x4
f(x4)
在x1 、 x3处函数值f(x1)、 f(x3) 与x1 、 x3左右近旁各点处的函数值相比,有什么特点?
f (x2)、 f (x4)比x2 、x4左右近旁各点处的函数值相比呢?
观察图像:
函数的极值定义
设函数f(x)在点x0附近有定义,
如果对X0附近的所有点,都有f(x)<f(x0),
则f(x0) 是函数f(x)的一个极大值, 记作y极大值= f(x0);
如果对X0附近的所有点,都有f(x)>f(x0),
则f(x0) 是函数f(x)的一个极小值,记作y极小值= f(x0);
◆函数的极大值与极小值统称为极值.
(极值即峰谷处的值)
使函数取得极值的点x0称为极值点
(1)函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的,在函数的整个定义区间内可能有多个极大值或极小值
(2)极大值不一定比极小值大
(3)可导函数f(x),点是极值点的必要条件是在该
点的导数为0
例:y=x3

(1)函数的极值是一个局部性的概念,是仅对某一点的左右两侧附近的点而言的.
(2)极值点是函数定义域内的点,而函数定义域的端点绝不是函数的极值点.
(3)若f(x)在[a,b]内有极值,那么f(x)在[a,b]内绝不是单调函数,即在定义域区间上的单调函数没有极值.
总结
(4),在某一点的极小值可能大于另一点的极大值.(如图(1))
(5)若函数f(x)在[a,b]上有极值,它的极值点的分布是有规律的(如图(2)所示),相邻两个极大值点之间必有一个极小值点,同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点.
.
练习:
下图是导函数的图象, 试找出函数的极值点, 并指出哪些是极大值点, 哪些是极小值点.
a
b
x
y
x1
O
x2
x3
x4
x5
x6
y
x
O
探究:极值点处导数值(即切线斜率)有何特点?
结论:极值点处,如果有切线,: f (x)=0
a
b
y=f(x)
x1
x2
x3
f (x1)=0
f (x2)=0
f (x3)=0
思考;若 f (x0)=0,则x0是否为极值点?
x
y
O
分析yx3