文档介绍：
a
b
x
y
O
定义
一般地, 设函数 f (x) 在点x0附近有定义, 如果对x0附近的所有的点, 都有
我们就说 f (x0)是 f (x)
的一个极大值, 点x0叫做函数 y = f (x)的极大值点.
反之, 若, 则称 f (x0) 是 f (x) 的一个极小值, 点x0叫做函数 y = f (x)的极小值点.
极小值点、极大值点统称为极值点, 极大值和极小值统称为极值.
o
a
x1
x2
x3
x4
b
x
y
P(x1,f(x1))
y=f(x)
Q(x2,f(x2))
(1)极值是某一点附近的小区间而言的,是函数的局部性质,不是整体的最值;
(2)函数的极值不一定唯一,在整个定义区间内可能有多个极大值和极小值;
(3)极大值与极小值没有必然关系,极大值可能比极小值还小.
观察图像并类比于函数的单调性与导数关系的研究方法,看极值与导数之间有什么关系?
讨论
o
a
x0
b
x
y
o
a
x0
b
x
y
x
x0左侧
x0
x0右侧
f(x)
f(x)
x
x0左侧
x0
x0右侧
f(x)
f(x)
增
增
减
减
极大值
极小值
左正右负极大值,
左负右正极小值
若寻找可导函数极值点,可否只由f(x)=0求得即可?
思考
探索: x =0是否为函数f(x)=x3
的极值点?
x
y
O
f (x)x3
f(x)=3x2 当f(x)=0时,x =0,而x =0不是该函数的极值点.
f(x0) =0 x0 是可导函数f(x)的极值点
x0左右侧导数异号 x0 是函数f(x)的极值点 f(x0) =0
注意:f /(x0)=0是函数取得极值的必要不充分条件
函数y=f(x)的导数y/与函数值和极值之间的关系为( )
A、导数y/由负变正,则函数y由减变为增,且有极大值
B、导数y/由负变正,则函数y由增变为减,且有极大值
C、导数y/由正变负,则函数y由增变为减,且有极小值
D、导数y/由正变负,则函数y由增变为减,且有极大值
D
练习
注意:极值点指的是自变量x,
极值指的是函数值y
因为所以
例1 求函数的极值.
解:
令解得或
当, 即, 或;
当, 即.
当 x 变化时, f (x) 的变化情况如下表:
x
(–∞, –2)
–2
(–2, 2)
2
( 2, +∞)
0
0
f (x)
–
+
+
单调递增
单调递减
单调递增
所以, 当 x = –2 时, f (x)有极大值 28 / 3 ;
当 x = 2 时, f (x)有极小值– 4 / 3 .
求解函数极值的一般步骤:
(1)确定函数的定义域
(2)求方程f’(x)=0的根
(3)用方程f’(x)=0的根,顺次将函数的定义域分成若干个开区间,并列成表格
(4)由f’(x)在方程f’(x)=0的根左右的符号,来判断f(x)在这个根处取极值的情况
例2
x
X<-1
-1
(-1,0)
(0,1)
1
X>1
+
0
-
-
0
+
极大值
极小值
所以,当x=-1是,函数的极大值是-2,当x=1时,函数的极小值是2
导函数的正负是
交替出现的吗?
不是
练习2
求下列函数的极值:
解:
令解得列表:
x
0
f (x)
+
单调递增
单调递减
–
所以, 当时, f (x)有极小值