文档介绍：小波分析及其应用(回顾)
1、小波的特点和发展
2、小波分析在一维信号处理中的应用
3 、小波分析在图象分析中的应用
图象特征抽取
图象压缩
数据隐藏和图象水印
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小波分析发展历史
1807年 Fourier 提出傅里叶分析, 1822年发表“热传导解析理论”论文
1910年 Haar 提出最简单的小波
1980年 Morlet 首先提出平移伸缩的小波公式,用于地质勘探。
1985年 Meyer 和稍后的Daubeichies提出“正交小波基”,此后形成小波研究的高潮。
1988年 Mallat 提出的多分辨度分析理论(MRA),统一了语音识别中的镜向滤波,子带编码,图象处理中的金字塔法等几个不相关的领域。
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小波的特点和发展
“小波分析”是分析原始信号各种变化的特性,进一步用于数据压缩、噪声去除、特征选择等。
例如歌唱信号:是高音还是低音,发声时间长短、起伏、旋律等。从平稳的波形发现突变的尖峰。小波分析是利用多种“小波基函数”对“原始信号”进行分解。
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小波的时间和频率特性
运用小波基,可以提取信号中的“指定时间”和“指定频率”的变化。
时间:提取信号中“指定时间”(时间A或时间B)的变化。顾名思义,小波在某时间发生的小的波动。
频率:提取信号中时间A的比较慢速变化,称较低频率成分;而提取信号中时间B的比较快速变化,称较高频率成分。
时间A
时间B
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多分辨度分析(MRA)
1988年 Mallat 提出的多分辨度分析理论,统一了几个不相关的领域:包括语音识别中的镜向滤波,图象处理中的金字塔方法,地震分析中短时波形处理等。
当在某一个分辨度检测不到的现象,在另一个分辨度却很容易观察处理。例如:
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小波的3 个特点
小波变换,既具有频率分析的性质,又能表示发生的时间。有利于分析确定时间发生的现象。(傅里叶变换只具有频率分析的性质)
小波变换的多分辨度的变换,有利于各分辨度不同特征的提取(图象压缩,边缘抽取,噪声过滤等)
小波变换比快速Fourier变换还要快一个数量级。信号长度为M时, Fourier变换(左)和小波变换(右)计算复杂性分别如下公式:
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小波基表示发生的时间和频率
“时频局域性”图解:Fourier变换的基(上)小波变换基(中)
和时间采样基(下)的比较
傅里叶变换
(Fourier)基
小波基
时间采样基
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Haar小波基母函数
(a)Haar “近似”基函数(b)Haar “细节”基函数
低频滤波系数高频滤波系数
H0= [ 1 1] ×q H1= [ 1 -1] ×q
= [ q q] =[ q -q]
其中:
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Haar小波的基函数
第 1 行基函数是取平均(近似),
第 2-8 行基函数是取变化(细节)。
细节包括变化速率和发生的时间。
H0= [ 1 1] ×q
H1= [ 1 -1] ×q
尺度函数
近似基函数
小波函数
细节基函数
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小波基可以通过给定滤波系数生成
小波基(尺度函数和小波函数)可以通过给定滤波系数生成。
有的小波基是正交的,有的是非正交的。有的小波基是对称的,有的是非对称的。
小波的近似系数和细节系数可以通过滤波系数直接导出,而不需要确切知道小波基函数,这是 I. Daubechies 等的重要发现,使计算简化,是快速小波分解和重建的基础。
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