文档介绍：小波变换及其应用
小波变换及其应用
1 傅立叶变换
傅立叶变换在信号分析处理中的突出贡献,在于它将复杂的时域信号转换到频域中,用频谱特性去分析和表现时域信号的特性。
设待处理的信号为,则其傅立叶变换定义为:
逆变换:
(1)
(2)
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表示时间频率或空间频率的成分含量,是分解为一系列的简谐振动或平面波的线性叠加叠加运算中的权函数。
如果是一个时域或空域中分布在(-∞,∞)中的稳恒过程或稳态信号,则傅立叶变换给出了近乎完美的结果。
图1 暂态信号
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对于局部信号或暂态过程,傅立叶分析不完全适用:
在暂态过程,我们仅对局域(时间或空间)信号感兴趣,
没有必要对全平面内的信号进行全局的分析。
对全部信号进行傅立叶处理,浪费时间,产生较大误差。
恢复或重构这些信号时,在局域外会出现非零分量。它
们一般是傅立叶逆变换中频域综合不够充分产生的噪声。
希望了解某一时间或某些区间内的信号对应的频率,通
过傅立叶变换,虽然可以知道信号所含的频率信息,但
并不能知道这些频率信息究竟出现在哪些时间段或哪些
区间上。
若要提取局部时间段(或区间)的频域特征信息,傅立叶变换已不再适用。
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2 从短时傅立叶变换到小波变换
为了有效提取局部信号的信息,引入一个局部化的变换。
局部化的两个要素:
被分析的区间要有一定的宽度,我们仅对及其
附近的信息进行处理
被分析的区间有一个中心坐标,当改变时,
就可以提取出不同的信息。
实现局部化的方案:
傅立叶变换基元函数乘一个窗函数,再进行变换, 为窗函数的中心。
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短时傅立叶变换(short-time Fourier transform,STFT,又称窗口傅立叶变换)与常规傅立叶变换的重要区别:
STFT:频率变量和坐标变量同时出现在变换函数中
常规傅立叶变换:频率变量和坐标变量分别单独出现在
信号函数和它的频谱中。
在STFT中,正是和窗口宽度,使这一变换具有局部处理的功能。改变,窗口就在时域或空域中移动,以获取不同时间或不同区域的信息(通常称为位移因子),而则限定了被处理时间或空间的范围。
与相对应,存在频率窗宽度。当和都有限时,称函数在时域(空域)和频域同时局部化。
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短时傅立叶变换STFT的局部性特征:
处理过程限制在时域(空域)-频率窗内进行,
且窗的位置是可变的。但两者均为常数,窗口形状不会随信号中心的变化而变化。
Gabor变换:
(3)
时间窗的中心为,宽度,实现时域处理的局部化;窗函数的傅立叶变换也是高斯函数,频率窗中心为,宽度,实现频域处理的局部化。
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图2 Gabar变换的时-频窗宽度
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用Gabor变换来处理信号,处理过程限制在时-频窗内进行,窗口面积反映了处理的精细程度,即时-频域的分辨率。
取Gauss函数的变形形式:
则时间窗宽度,频率窗宽度,
窗口面积为。
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由于Gabor变换的窗口面积不随和变化,所以在其处理过程中,时-频分辨率不会变化。由此可以看出短时傅立叶变换(以时-频信号为例)虽然可以描述某一局部时间段上的频率信息,却不能自适应地处理各频段信号
图3 Gabar变换的时-频相平面图