文档介绍：矩阵分析与应用
第九讲矩阵分析及其应用之一
信息工程学院
吕旌阳
2006-12-1
本讲主要内容
矩阵序列
矩阵级数
矩阵函数
2006-12-1
引言:
m
一元多项式 f ()tcct= 01+++
ctm
mnn×
矩阵多项式 fA()= c01+++ cA
cAm ,( ∀∈ A C )
f ()A 以矩阵为自变量且取值为矩阵的一类函数
本章研究一般的以矩阵为自变量且取值为矩阵的函数
——矩阵函数
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一、敛散性
()k
定义:将矩阵序列 Aa()kk= ( ()) ,记作{A }
ij mn×
()k (k)
当limaaijij=∀ ij ( , ) 时,称矩阵序列{A }收敛于
k→∞
矩阵A=(aij)。记作
()k
lim A = A ,或者 AAk()k →→∞( )
k→∞
()k ()k
若数列()aij 之一发散,称{A } 发散
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性质:
()kk ()
(1) 若 limA = ABBmn× , lim = mn× 则
kk→∞→∞
lim(aA()kk+ bB () )=+ aA bB , ∀ a , b
k→∞
()kk ()
(2) 若 limA = ABBmn× , lim = nl× 则
kk→∞→∞
lim(A()kkBAB () ) =
k→∞
()k
(3) 若()k 与A 是可逆矩阵,且lim A = A ,则
A k→∞
lim(A()k )− 1= A− 1
k→∞
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定理1:设,则AAC()kmn, ∈×
()k
(1)limA()k = 0 ∀•=,limA 0
k→∞ k→∞
()k
(2)lim A()k = A ∀•−=, lim ||AA || 0
k→∞ k→∞
证明:(1)考虑F -矩阵范数
()k ()k
limA = 0 limaallijij = 0 ( , )
k→∞ k→∞
mn 2
()k
limaij = 0
k→∞∑∑
ij==11
limA()k = 0
k→∞ F
(2)由 limAA()kk= ⇔−= lim( AA () ) 0 可直接的得到
kk→∞→∞
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敛散性的另一定义:矩阵序列{A()k } 收敛的充要条件
为对任给ε>0 存在N(ε), 当 k, l ≥ N(ε) 时有
AA()kl−() < ε
其中i 为任意的广义矩阵范数。
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11
1sin()−
()n nn
例1: A = n sin(k ) ,证明其敛散性
e−n
∑ 2
k=1 k
因为求不出A()n 的极限从而很难应用定义证明收敛。
n n n
相反,由于 sin(k ) 1 1 1
∑ 2 ≤∑ 2 ≤∑≤
km=+1 k km=+1 k km=+1 kk(1)− m
从而只要取l充分大,则当m, n > l 时就有
n sin(k )
∑ 2 ≤ε
km=+1 k
这样A()n 收敛
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k
定义:若A 满足limA = 0nn× ,称A为收敛矩阵
nn× k→∞
定理2: A为收敛矩阵ρ(A)< 1
1
证明:充分性。已知ρ(A)<1 ,对ερ= 10−>()A
2
i
存在矩阵范数M ,使得
1
AA≤ρ( )+ ε= 11+<ρ()A
M 2
k
于是有AAk ≤→ 0 ,故由定理1可得 k
M M A → 0
必要性:已知Ak → 0 ,设Axxx=≠λ(0) ,则有
λ kkx =→Ax 0 ⇒→λ k 0 ⇒<λ 1
故ρ()A < 1
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:若矩阵范数i 使A < 1 ,则 k
定理3 M M A → 0
证明: ρ AA≤<1 k
() M ⇒→A 0
例: A =
k
A = < 1 ⇒→A 0
1
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