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第卷第期数学进展..
月.,
偏微分方程的调和分析方法简介
苗长兴
北京应用物理与计算数学研究所, ,北京
摘要: 本文致力于阐述调和分析与现代偏微分方程研究的关系,特别是奇异积分算予、拟微分
算子、限制性估计、频率分解方法在椭圆边值问题、非线性发展方程研究中的重
,指出了偏微分方程的调和分析方法的
,还给出了偏微分方程的调和分析方法这一领域的最新研究进展.
关键词: 偏微分方程;边值问题; 问题;奇异积分算子;拟微分算子; 。限制
性估计; 频率分解; —分解
主题分类:,,,,.,/中图分类号
文献标识码; 文章编号:———
引言

展,它已经成为现代数学的核心研究领域之一,特别成为偏微分方程、解析数论、数学物理、工
,调和分析的许多经典结果

体会调和分析在偏微分方程研究中的重要作用: ,
与空间:在建立椭圆型方程、抛物型方程解的理论、理论中,空
、理论就可以建立椭圆
型方程、,作为和空间的替代空间,
空间与空间在插值理论、算子有界性的研究中起着极其重要的作用.
经典—、变换是
其典型例子,,它在正对称双曲型方
程组、位势积分估计单层位势、
面,利用位势、位势可以将整数阶的空间推广到相应的分数阶函数空间.
第二代—奇异积分算子是拟微分算子的特例,它是处理变系数线性偏
,拟微分算子的理论可视为经典位势理论的推广,可以讲它是研
,作为拟微分算子进一步发展的积分算子,
本质上可以视为第二型的振荡积分.
—、函数的点态收敛,特别对椭圆
边值问题边界值的刻画有着重要作用.
可微函数空间如空间、—空间、通常的空间,特别是它
收稿日期: ——.
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数学进展
们的—刻画、原子分子刻画、核刻画及核刻画等调和分析技术,
不仅为偏微分方程的研究提供了工作空间,同时也为线性估计、非线性估计提供了有效方法.
球调和函数理论:它是偏微分方程各种定解问题的经典研究方法特别是基于逼近的紧
致性方法的基础,,它在奇异积分理论等调和分析的核心方向的
研究中亦扮演着重要角色.
插值理论与插值方法:无论是实插方法、复插值方法还是插值方法,都是研究
空间理论、算子理论、:插值定理将端点弱型算子
估计转换成内点的强型算子估计,这在偏微分方程的研究中是至关重要的.
平移不变算子理论、—的函数方法、—
的;,乘子理论可用于判断线性发展方程的适定性解

分方程的定解问题提供了合适的:作空间.
—的分解理论在函数空间的刻画、非线性函数在分数阶空间中
的估计等诸多方面显示出巨大的应用潜力. 的二次微局部分解与分数阶求导估计正是基
于的分解理论的一个典型范例.
振荡积分估计、变换在几何曲面上的限制性估计:藉此可建立线性发展方程解
的—估计,解的型时空估计、正则型的时空估计、解的倒向时空估
、
研究提供了有力的工具.
近年来,现代调和分析方法特别是限制估计及相应的型时空估计,
理论,的二次微局部分解技术与分数阶求导估计等起着决定性的作用,偏微分方程特
别是发展型方程的许多突破性成果均系与此,读者可见,,,,
及等人的工作,如—,,—,,,,,,,,,】等.
区域上的椭圆边值问题
我们以方程为例,说明调和分析特别是奇异积分算子在椭圆边值问题研究中的作
用,并简要给出研究的背景、历史、方法.
众所周知,经典方程的边值问题
。
,∈\’。外问题,
№⋯’
△∈,
№⋯外问题,
分别等价于求解如下面上的积分方程
丢西:,, 问题,
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期苗长兴;偏微分方