文档介绍：第八章空间解析几何与向量代数
§1 向量及其线性运算
§2 数量积与向量积
§3 曲面与方程
§4 空间曲线及其方程
§5 平面及其方程
§6 空间直线及其方程

8-1-1
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§ 向量及其线性运算
向量概念
向量的线性运算
空间直角坐标系
利用坐标作向量的线性运算
向量的模方向角

8-1-2
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向量
既有
记为
模长为1的向量.
零向量
模长为0的向量.
| |
向量的模
向量的大小.
单位向量
或
或
或
的量.
又有
大小
方向
以
为起点,
为终点的
有向线段.
一、向量概念
向量及其线性运算

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自由向量
不考虑起点位置的向量.
相等向量
大小相等且方向相同的向量.
负向量
大小相等但方向相反的向量.
向量及其线性运算
记作

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特殊地若
‖
分为同向和反向
(平行四边形法则与三角形法则)
(1)加法
二、向量的线性运算
1. 向量的加减法
向量及其线性运算

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向量的加法符合下列运算规律
交换律
结合律
(2) 减法
向量及其线性运算

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2. 向量与数的乘法(简称数乘运算)
注
向量的“伸缩”
向量
的乘积
规定为
同向,
反向,
向量
为向量.
与数
的乘积
向量及其线性运算

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数乘向量具有下列运算规律
结合律
分配律
第一分配律
第二分配律
线性运算
向量及其线性运算
根据数乘向量定义知:
定理1
平行.
设向量
∥
存在唯一的实数
同方向的单位向量.
记作
,
0
r
r
¹
a

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向量及其线性运算
证明:
若
当与同向时,
取为正值,
当与反向时,
取为负值,
有,
有,
于是有.
假设有数
使
即
说明:
数轴上的任何一个向量均可用相应的单位
向量的数乘向量来表示.

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例试用向量方法证明:对角线互相平分的四边形必是平行四边形.
证
结论得证.
∥
且
向量及其线性运算

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