文档介绍：线性代数
第3章线性方程组
消元法
线性方程组的解的结构
线性方程组的应用
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第3章线性方程组
引例
对于某种宠物的喂养,专家建议,每天的饮食中应当含有100单位蛋白质,200单位碳水化合物和50单位的脂肪,一个宠物食物专卖店出售4种不同的食品A,B, C,D. 其对蛋白质、碳水化合物和脂肪的含量如下表(单位:盎司). 如何搭配这四种食品才能够使该宠物的饮食符合专家的建议标准?
食品
蛋白质
碳水化合物
脂肪
A
5
20
2
B
4
25
2
C
7
10
10
D
10
5
6
这是线性方程组的求解问题.
节高斯消元法
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本节介绍线性方程组和矩阵的高斯消元法,进而讨论线性方程组解的存在性及判别方法.
例1
(1)求这个线性方程的三个特解.
(2)求这个线性方程的一般解(通解)
解
(1)这里x1为非零首项变量, x2, x3为自由变量,给 x2, x3 取任意值,可以解得 x1.
对自由变量常用如下取值方法:

为原线性方程的通解其中c1, c2为参数.
参数形式通解
向量形式通解
(2)为求得线性方程的一般解,需要给自由变量 x2, x3 取任意值,这里不妨设 x2= c1; x3 = c2, c1, c2∈R,得
故有

定义n个变量m个方程的线性方程组称作n元线性方程组,形如
其中 xj 为变量,aij 为第i个方程变量xj的系数,bi 为第i个方程的常数项,这里i=1,2,…, m ; j =1,2,…,n.
设n元线性方程组
当常数项bi不为0时, 称为非齐次线性方程组;
常数项bi全为零时,我们称之为齐次线性方程组,
也称作非齐次线性方程组的导出组.
称满足以上方程组的一个有序数组为方程组的一个解,一般记作
列向量(列矩阵)形式为
注
(1)当线性方程组有无穷多解时,其全部解的集合称为方程组的通解或一般解.
(2)当线性方程组有解时,称方程组是相容的,否则便是不相容的.
(3)“解方程组”,就是判断线性方程组是否有解,在有解时求得满足方程组的惟一解或全部的解(通解)的过程.
“解线性方程组”常用方法为高斯消元法.
消元过程中需要反复应用线性方程组的增广矩阵的
初等行变换.
线性方程组与其增广矩阵是一一对应的
线性方程组
增广矩阵