文档介绍：平面向量的数量积
物理中功的概念
θ
s
F
一个物体在力F 的作用下产生的位移s,那么力F 所做的功应当怎样计算?
其中力F 和位移s 是向量,功是数量.
是F的方向与s的方向的夹角。
新课引入
向量的夹角
两向量的夹角范围是
两个非零向量a 和b ,在平面上任取一点O ,
作, ,则
叫做向量a 和b 的夹角.
OB =b
OA
= a
记作
当,a 与b 垂直,
当,a 与b 同向,
当,a 与b 反向
A
O
B
O
A
B
B
a
b
A
O
O
A
B
练习一:
在中,找出下列向量的夹角:
A
B
C
(1)
(2)
(3)
平面向量的数量积的定义
已知两个非零向量a 和b ,它们的夹角为,我们把数量
叫做a 与b 的数量积(或内积),记作a · b ,即
规定:零向量与任意向量的数量积为0,即 0.
提问:
(1)向量的加、减法的结果是向量还是数量?数乘向量运算
呢?向量的数量积运算呢?其正负由什么决定?
(2)“”能不能写成“”或者“”的形式?
练习二:
60
。
C
A
B
60
。
5
8
24
-20
D
(1)已知|p| =8,|q| =6, p和q 的夹角是,求p · q
60
。
a与 b的夹角为,则 a · b=_______
30
。
(3)已知中, =5,b =8,C= ,求BC ·CA
(2)已知
O
A
B
a
b
平面向量的数量积的几何意义
,过点B作
垂直于直线OA,垂足为,则
| b | cosθ
| b | cosθ叫向量 b 在 a 方向上的投影.
平面向量的数量积的几何意义是: a 的长度|a|
与 b 在 a 的方向上的投影|b|cos 的乘积
O
A
B
a
b
O
A
B
a
b
θ为锐角时,
| b | cosθ>0
θ为钝角时,
| b | cosθ<0
θ为直角时,
| b | cosθ=0
B
O
A
a
b
O
A
B
b
a
O
A
B
b
a
θ为时,它是| b |
0
。
θ为时,它是-| b |
180
。
练习三:
1、已知, 为单位向量,当它们的夹角为时,
求在方向上的投影及;
2、已知, , 与的交角为,则
;
4、已知, ,且,则与的夹角为
;
3、若, , 共线,则
.
(1)e · a=a · e=| a | cos
(2)a⊥b a · b=0 (判断两向量垂直的依据)
(3)当a 与b 同向时,a · b =| a | · | b |,当a 与b 反向
时, a · b = -| a | · | b | .
特别地
4
0
3或-3
( a // b a · b=±|a| · |b| )
平面向量数量积的性质:
(1)e · a=a · e=| a | cos
(2)a⊥b a · b=0 (判断两向量垂直的依据)
(3)当a 与b 同向时,a · b =| a | · | b |,当a 与b 反向
时, a · b = -| a | · | b | .
特别地
( a // b a · b=±|a| · |b| )