文档介绍：第八章矢量代数与空间解析几何
一. 已知, 问: 系数l为何值时, 向量垂直.
解.
=. 所以.
二. 求同时垂直于矢量的单位矢量.
解. 假设所求矢量为, 则
, 的模=
所以=
三. 若, , , 式中, 化简表达式.
解.
= () + 3()() + 1
=
四. 求平行四边形面积, 若已知对角线为矢量, , .
解. 假设平行四边形的二边为矢量
不妨假设, 所以
平行四边形面积=
五. 设, , 其中问:
1. k为何值时, ;
2. k为何值时, 为邻边的平行四边形面积为6.
解. 1. .
所以, k =-2;
2.
平行四边形面积为的模. 所以
6=,
所以,
六. 求通过三平面的交点, 且平行于平面的平面方程.
解. 所求平面平行于, 所以该平面的法矢为(1, 1, 2).
三平面的交点为, 解得 x = 1, y = 1, z = 1.
所以所求平面为
即
七. 过平面x + 28y-2z + 17 = 0 和平面5x + 8y-z + 1 = 0的交线, 作球面的切平面, 求切平面方程.
解. 过平面x + 28y-2z + 17 = 0 和平面5x + 8y-z + 1 = 0的交线的平面方程为
即
假设平面和球面的切点为, 于是在该点的法矢量为. 所以得到:
由第二式解出和的关系, 代入第一式, 并注意到第三式, 于是得到
再次代入第一式, 得到
,
当, 得到所求平面为;
当, 得到所求平面为
八. 设为两条共面直线, 的方程为, 通过点(2,-3,-1), 且与x轴正向夹角为, 与z轴正向夹锐角, 求的方程.
解. 因为与x轴正向夹角为, 与z轴正向夹锐角, 所以可以假定的方向矢量为(m, n, 1), 其中m > 0. x轴的单位矢量为(1, 0, 0). 由矢量夹角公式可得
(*)
上的点(7, 3, 5), 上的点(2,-3,-1)构成矢量(5, 6, 6)与的方向矢量(1, 2, 2)、的方向矢量(m, n, 1)共面. 所以混合积为0, 即
得到 4n-4 = 0, n = 1. 代入(*)式, 得到. 于是的方程为
, 即
九. 求直线与直线之间的垂直距离.
解. 两直线可转化成
于是得到参数方程:
,
两直线上的点之间的距离平方为:
=
当t, s使d2达到最小值时, d即为垂直距离. 所以
得方程组: , ,
将t, s的值代入d2的表达式, 算得d的值为:
十. 已知直线与z轴相交, 求d值.
解. 假设直线与z轴交点为, 则该点满足. 于是
,
将代入, 得到
十一. 在平面内, 求一直线, 使它通过直