文档介绍：数乘满足:(5)1?=?, ?????)1(;(6)???)()()(klkllk??;(7) (k + l)?=k?+l?;(8)k(?+?)=k?+ k?.以上的基本律(1)~(8)中,?,?,?是集合V中的任意元素,k , l是P中任意数;那末定义了这样两种运算的集合V称为数域P上的线性空间。(1)零元素是唯一的,记为0;(2)V???,?的负元素是唯一的;(3)V???,Pk??, 有00,00??k?和?????)1(;(4)若0??k,则有k=0或?=0一些线性空间的例子例1全体n维实向量依照向量的加法和向量与实数的数乘构成实线性空间,记为nR。在数域P上的线性空间V中,例2全体nm?阶实矩阵,依照矩阵的加法和矩阵与数的数乘构成实线性空间。记为nmM?。例3区间[a,b]上的全体连续实函数,依照函数的加法和函数与数的乘法作为数乘构成实线性空间,记为C[a,b]。,W是V的非空子集合,若对于V上的加法和乘法运算,W也是P上的线性空间,则称W为V的一个线性子空间(简称为子空间)。,如果V的非空子集合W对于V的加法和乘法运算是封闭的,则W是V的一个子空间。证显然,我们只要证明基本律(3),(4)在W中成立即可。对W???,由于P?0,而P????101,故有V???00和V??????)1(。下面是一些子空间的例子例4线性空间V的仅含零向量的子集合是V的一个子空间,常称零子空间;V本身也是V的一个子空间,常称为全空间。例7 函数集合{f(x)?C[a,b]|f(a)=0} 是线性空间C[a,b]的子空间。例8 n阶上三角实矩阵集合、下三角实矩阵集合和实对角矩阵集合都是由所有n阶方阵构成的线性空间nmM?的子空间。例6 三维向量集合A=}0),{(3321?xxxxB=}0),{(321321???xxxxxx都是线性空间3R的子空间。、 ,m???,,,21?是V中m个向量,若存在P中不全为零的数mkkk,,,21?使得02211????mmkkk????.,则称m???,,,21?线性相关,否则称m???,,,21?线性无关。、,n???,,,21?是V中n个线性无关的向量,若V中任一向量?均可以由n???,,,21?线性表示,则称线性空间V是n维线性空间,记为dim V = n, 而称n???,,,21?是V的一组基。、基与坐标定义 ,n???,,,21?是V中n个线性无关的向量,若V中任一向量?均可以由n???,,,21?线性表示,则称线性空间V是n维线性空间,记为dim V = n, 而称n???,,,21?是V的一组基。???,,,21?是n维线性空间V的一组基,V???ㄛ衄nnxxx?????????2211则称???????????????nxxxx?21为?婓價n???,,,21?下的坐标。