文档介绍：巧用判别式
在解题中,大家往往会遇到有关一元二次方程(a、b、c,a≠0)的问题,而利用判别式解题,却能使问题化繁为简、化难为易,收到事半功倍的效果。所以,如果已知条件中含有二次方程或二次函数,则可考虑直接应用判别式,点击思维,灵活运用。下面通过几例解法,说明一下自己的感悟。
例1. 已知,求证:。
证明:由已知得
构造函数
因,所以
故成立。
说明:本题利用构造法,解题过程简捷、流畅,并且需要有较强的直接观察能力。
例2. 设实数x、y,且。求的取值范围。
解:已知①
设②
①-②整理得③
由①得,把③式代入得,
则有。④
在条件④下, ⑤
由③⑤可知,x、y是方程的根。
因为,所以,解得
综上可知,,即
说明:若题设中含有形如、的项,就可考虑用韦达定理构造二次方程。解本题需要有一定的数学思想,先求x+y、xy,再构造二次方程,利用判别式轻松解题。
例3. 已知,求证:
证明:视不等式的左边减去右边为一个关于x的二次函数,那么有
其判别式
故开口向上的二次函数恒为非负,即对所有x、y、z,所求证的不等式成立。
说明:本题可谓“纸老虎”。通过仔细审题,巧妙构造二次函数,利用判别式使问题轻松获解。
[练一练]
在区间[,3]上,函数与函数同时取到相同的最小值,则函数在区间[,3]上的最大值为( )
A. 8 B. 6 C. 5 D. 4
答案:D
提示:,当且仅当时,,所以,在区间[,3]上。