文档介绍：第七章动态电路的状态变量分析
电路的状态和状态变量
状态方程及其列写
状态方程的解法
应用实例:解微分方程电路
电路的状态和状态变量
本章将给出电路的状态和状态变量的定义,讨论状态方程的列写方法和求解方法。
一、状态变量
状态的定义:一个电路的状态是指在某个给定时刻必须具备最少量的信息,这些信息与该时刻以后的激励,就能够完全确定以后任何时刻该电路的行为。
状态变量法不仅适用于分析线性非时变电路,而且适合用来分析线性时变电路和非线性电路。
状态变量(state variable):一组能够确定电路行为的最少变量。
一般来说,电路变量的集合x(t)满足以下两个条件,可作为电路的状态。
(1) 如果已知x(t)(其各个元素都是独立的)在t0时刻的值x(t0)以及从t0开始的输入w(t),则对任意t > t0,x(t)就能完全确定。
(2) 由x(t)和w(t)可确定任何其它电路变量集y(t)。
在电路分析中,一般选全部独立的电容电压uC(或电荷qC)和独立的电感电流iL(或磁通L)的集合作为电路的状态x(t)。
状态轨迹(state trajectory) —状态向量x(t)在任一时刻t的值称为电路在该时刻的状态。每一时刻的状态在状态空间中都对应一个“点”,所有这些“点”形成的“轨迹”,称为状态轨迹。通过状态轨迹人们就可以判断电路的基本性质
状态空间(state space)—把每个状态变量作为一个坐标形成的空间。
例:RLC并联电路的响应分析
(1)以iL为求解对象的微分方程
初始值:iL(0+)= I0、uC(0+)=U0
(2)以iL和uC作为变量分别列写RLC并联电路的方程,则有:
在二阶电路中学过
表示成矩阵形式
是以iL和uC为变量的一阶微分方程组。
初始值iL(0+)= I0、uC(0+)=U0也可表示成
称这一阶微分方程组为RLC并联电路动态过程的状态方程(state equations),并可简写成
其中x=[ iL uC]T称为电路的状态
x中的元素iL和uC称为状态变量
A、B —为系数矩阵,取决于电路拓扑结构和元件参数
W —为输入向量
x(0+)=[ I0 U0]T —为电路的初始状态
x(0-) —电路的原始状态
x(0+)=x(0-)=x(0)=x0
根据换路定律有
(1)当w = 0,x0  0时,状态方程描述零输入响应;
(2)当w  0,x0= 0时,状态方程描述零状态响应;
(3)当w  0,x0  0时,状态方程描述完全响应。
(a) 过阻尼情况的时域波形
(b) 过阻尼情况的状态空间轨迹
RLC并联电路的零输入响应
(a) 欠阻尼情况
(b) 无阻尼情况
(c) 发散情况
电路的状态空间轨迹能够反映电路的特性
:
状态轨迹从t=0+ 的初始状态x0=[I0 U0]T开始,在t=时终止于坐标原点
(2)欠阻尼情况:状态轨迹是从t=0+ 到t=时的螺旋线
(3)无阻尼情况:状态轨迹是以原点为对称的椭圆
(4)响应为增幅振荡情况:在t趋于时,零输入响应成为无界,状态轨迹是向外发散的。
(a) 欠阻尼情况
(b) 无阻尼情况
(c) 发散情况