文档介绍：第二十二章一元二次方程
本章小结
小结1 本章概述
:学习一元二次方程的一般形式、成立的条件,一元二次方程的根(或解),检验一个数值是否是一元二次方程的解的方法;第二部分是一元二次方程的解法:理解一元二次方程的解法的数学思想是降次,由降次的不同方法得出一元二次方程的不同解法,掌握一元二次方程的解法(配方法、公式法、因式分解法);第三部分是一元二次方程的应用:利用一元二次方程来解答实际应用问题、数学综合问题等。一元二次方程是初中阶段最重要的方程,它是解答数学问题的重要工具和方法,并且对学习函数,尤其是二次函数的综合问题起着决定性的作用,它在中考试题中占有一定的比例.
小结2 本章学习重难点
【本章重点】正确理解一元二次方程的有关概念及二次项系数不为0这一前提条件,掌握化一元二次方程为一般形式的方法及一元二次方程的解法.
【本章难点】熟练求一元二次方程的解,并会将实际问题抽象为单纯的数学问题(列一元二次方程),掌握一元二次方程根的判别式的应用.
小结3 学法指导
1. 经历由具体问题抽象出一元二次方程的过程,进一步体会方程是刻画现实世界数量关系的一个有效的数学模型,本章遵循了“问题情境——建立模型——应用”的模式.
、归纳、类比、计算与交流活动中,理解并掌握一元二次方程的基本解法——直接开平方法、因式分解法、配方法和公式法,并形成利用语言文字规范化地表达方程思想和方程知识的过程.
,进一步体会“化归”与“转化”的数学,思想的重要地位,解一元二次方程实际上是转化为解一元一次方程,达到降次的目的,进一步认识“方程是反映现实世界数量关系的一个有效的数学模型”.
,注意精确解、近似解的含义,并根据具体问题检验解的合理性.
,在学习过程中随时类比一元一次方程等相关知识,注意一元二次方程根与系数的关系,并在探索过程中体会“化归”与“转化”等数学思想在解决问题中的作用.
知识网络结构图
定义:等号两边都是整式,只含有一个未知数(一元),未知数的最高次数是2(二次)的方程为一元二次方程
直接开平方法
因式分解法
配方法
公式法
解法(降次)
一元二次
方程
应用一元二次方程解决实际问题
专题总结及应用
一、知识性专题
专题1 一元二次方程的定义
【专题解读】涉及一元二次方程定义的问题,应注意强调二次项系数不为0,不要忽略某些题目中的隐含条件.
例1 已知(m-1)x|m|+1+3x-2=0是关于x的一元二次方程,求m的值.
分析依题意可知m-1≠0与|m|+1=2必须同时成立,因此求出满足上述两个条件的m的值即可.
解:依题意得|m|+1=2,即|m|=1,
解得m=±1,
又∵m-1≠0,∴m≠1,
故m=-1.
【解题策略】解决此类问题的关键是牢记并理解一元二次方程的定义,特别是二次项系数应为非零数这一隐含条件要注意.
专题2 一元二次方程的解法
【专题解读】解一元二次方程时,主要考虑降次,其解法有直接开平方法、因式分解法、配方法及公式法,在具体的解题过程中,应结合具体的方程的特点选择简单、恰当的方法.
例2 用配方法解一元二次方程2x2+1=3 x.
分析本题考查配方法解方程的步骤.
解:移项,得2x2-3 x=-1,
二次项系数化为1,得
配方,得
由此可得
【解题策略】在二次系数为1的前提下,方程两边都加上一次项系数一半的平方.
例3 一元二次方程3x2-x=0的解是( )
=0 =0,x2=3 C. D.
分析根据本题特点应采用因式分解法,将原方程化为x(3x-1)=0,易求出x=0或3x-1=0,.
【解题策略】方程易转化为两个一次式乘积为0的形式,可采用因式分解法来解方程.
例4 解方程x2-2x-2=0.
分析结合方程特点,本题可采用公式法或配方法求解.
解法1:∵a=1,b=-2,c=-2,
∴b2-4ac=(-2)2-4×1×(-2)=12,
∴x=
解法2:移项,得x2-2x=2,
配方得x2-2x+1=3,
即(x-1)2=3,∴x-1=,∴
【解题策略】一元二次方程的解法中,配方法及公式法是“万能”的方法.
专题3 与方程的根有关的问题
【专题解读】这部分内容主要考查已知方程的一根求字母的值,或者是根与系数及判别式相联系的问题.
例5 解下列方程,将所得到的解填入下面表格中:
方程