文档介绍：组别:第六小组
姓名:梁伟仙、叶佳盛、冼深发
屋檐水槽模型
摘要
对于倾斜屋顶采用何种结构进行有组织排水,是民用建筑一个普通而有实际的问题。在民用建筑中一般是在房顶的边缘安装一个檐槽和一个竖立的排水管来排水,这种排水方式的可行性探讨实际上是解决水槽的容量在单位时间内能否足以排除雨水的问题。构建这种排水方式的微分方程模型,运用Maple对设计方案进行了可行性论证,提出了屋檐水槽模型的优化方案。
关键词: 速度平衡原理;微分方程;数值解;maple
一、问题的重述
为了雨天出入方便,房屋管理部门想在房顶边缘安装一个檐槽。现在有一个公司想承担这项业务,他们承诺:提供一种新型的可持久的檐槽,这种檐槽不管天气如何都能排掉房顶的雨水。房屋部门希望检验公司的承诺能否实现。简单来说, 从屋脊到屋檐的房顶可以看成是一个12米长,,一般来说,这个角度通常在20°~50°之间。
现在有一个公司想承接这项业务,他们允诺:提供一种新型的可持久的檐槽,它包括一个横截面为半圆形()的水槽和一个竖直的排水管(直径为10厘米),并且不管天气情况如何,这种檐槽都能排掉房顶的雨水。如图1所示。
二、模型的假设
、合理假设
(1)、降雨分布均匀并以垂直下落,并且直接落在房顶上;
(2)、所有落在房顶上的雨水迅速流入水槽中;
(3)、雨水不断从水槽中溅出;
(4)、排水管道顺畅,没有任何障碍或阻塞;
(5)、假设雨开始下时槽内有雨水,。
、符号说明: 如下图表所示
各因素与符号说明
有关的因素
因素类型
符号
单位
降水强调
输入变量
r
m/s
时间
变量
t
s
房顶的倾斜度
输入参数

弧度
房顶长度
输入参数
d
m
房顶的宽度
输入参数
b
m
水槽的半径
输入参数
a
m
水槽中水的深度
输入参数
h
m
水槽中水的容量
变量
V
m
流入水槽的流速
变量
Q
m/s
流出水槽的流速
变量
Q
m/s
排水管横截面积
参数
A
m
重力加速度
常数
g
m/s
表1
三、模型的建立
参照图1, 根据速度平衡的原理, 对于房顶排水系统有:水槽中水的流量的变化率= 雨水的流入流量- 排水流出的流量。即
Vc(t)= Q- Q,这里Q、Q 分别是单位时间流入水槽和从水槽流出的雨水流量。房顶雨水的流动情况, 如图2 所示。
房顶的面积是bd, 由于房顶是倾斜的, 根据合理假设(1), 实际受雨的水平面积应为bdcos, 房顶上雨水的流量就是r(t)bdcos,雨水的流动是沿倾斜的房顶向下的, 从而流入水槽的流量应该是它在铅垂方向的分量, 即
Q= r( t)cossin (1) 而根据能量守恒定律得出, (2)
所以,Vc(t)= Q- Q
水槽中水的深度h<a时的状况如图3所示,槽中水的体积为:
v(t)= (3)
由图3有: cos (4)
由(4)式得: (5)
sin2=2(a-h) (6)
把(5)、(6)式代入(1)式得:
V(t)=ad[arcos()-] (7)
下面运用maple对(7)式中t求导【用v(t)表示d(v)/d(t)】:
>V(t):=a^2*d*(arcos((a-h(t))/a)-(a-h(t))*sqrt(2*a*h(t)-h(t)^2)/a^2)
定义v(t);
V(t):=os-
>V1:=diff(v(t),t);#求v’(t)

>v2:=a^2*d(diff(h(t),t)/(2*a*h(t)-h(t)^2)^(1/2)+diff(h(t),t)*(2*a*h(t)-h(t)^2)^(1/2)/a^2-1/2*(a-h(t))/(2*a*h(t)-h(t)^2)^(1/2)/a^2*(2*a*diff(h(t),t)-2*h(t)*diff(h(t),t)));
>v(t):=simplify(%);#对上式化简
v(t):=- (8)
所以根据(1)、(2)、(8)这样就得到模型:
(9)
即
(10)
:
模型的求解与分析
设定一组数据:
a=,b=6m,d=12m,g=,A=,,h(0)=(假设槽内有些积水)。
下面,用Maple 求(10)数值解。
>restart;eq:=diff(h(t),t)=(r*b*d*sin(alpha)*cos(alpha)-A*sqrt(2*g*h(t)))/(2*d*sqrt(2